Variación posición de equilibrio de un muelle con solenoide en su extremo.

[galgarabel]

¡Hola a todos!

Por favor, ¿podría ayudarme alguien a resolver este ejercicio? La verdad es que no sé cómo plantearlo:

Un cuerpo de masa m se cuelga de un muelle metálico en forma de solenoide de longitud natural x0, sección S, resistencia R, constante elástica k y N espiras. Si se aplica una diferencia de potencial V a sus extremos, calcular cuánto cambia la posición de equilibrio del cuerpo al cerrar el interruptor, suponiendo que este cambio es << x0.

Datos: m = 1 kg, N = 103, x0 = 50 cm, k = 2 N/m, S = 100 cm2, R = 0.2 Ω, V = 6 V



Gracias de antemano.

[Abdulai]

Para conocer la fuerza que hace el resorte al aplicarle corriente podés aplicar $F=\dfrac{dE}{dx}$ siendo $E$ la energía del campo magnético.

En base a memoria,ejercicios previos o Wikipedia, tenés que la inductancia de un solenoide "largo" de largo $x$ es $L=\mu_0 N^2 \dfrac{A}{x}$
Y que la energía del campo $E=\frac{1}{2} LI^2$

Derivando respecto de la longitud: $F = - \frac{1}{2} \mu_0 N^2 \dfrac{A}{x^2} I^2$

Creo que con esto podés seguir...

[Alriga]

Hola galgarabel , ¿no falta algún dato?

Parece que la idea sería que, al conectar la tensión pasa corriente eléctrica y debido a su resistencia el muelle se calienta. Si el muelle se calienta, se dilata alargándose. Si tuviésemos el aumento de temperatura y supiésemos cual es el material del muelle, podríamos buscar en unas tablas su coeficiente de dilatación y a partir de ahí calcular el alargamiento.

Pero no parece sencillo calcular el aumento de temperatura a partir de los datos facilitados y mucho menos saber el coeficiente de dilatación sin saber de qué metal se trata. No sé si se me escapa algo...

Saludos.

[galgarabel]

Muchas gracias a ambos por la respuesta.

Alriga , yo creo que para este ejercicio (o al menos para lo que me piden en el curso) no hay que tener en cuenta la dilatación y datos seguro que no faltan. El planteamiento de Abdulai creo que sería el correcto. Corregidme si me equivoco, pero siguiendo su planteamiento, el siguiente paso sería igualar la fuerza ejercida con la ley de Hooke y despejar la posición de equilibrio, ¿no? ¿Después cómo se sabría si se extiende o se contrae el muelle?

Aunque claro, de esa forma no se tendría en cuenta la resistencia R que te da el enunciado. No sé si hay que considerarla...

Saludos.

[Alriga]

...de esa forma no se tendría en cuenta la resistencia R que te da el enunciado. No sé si hay que considerarla...

La necesitas para calcular la corriente:

$I=\dfrac V R=\dfrac 6{0.2}=30 \ A$

Saludos.

[galgarabel]

La necesitas para calcular la corriente:

$I=\dfrac V R=\dfrac 6{0.2}=30 \ A$

Saludos.

¡Tienes toda la razón!

Gracias.

[Abdulai]

... el siguiente paso sería igualar la fuerza ejercida con la ley de Hooke y despejar la posición de equilibrio, ¿no? ¿Después cómo se sabría si se extiende o se contrae el muelle?...

Como te dan el largo del resorte libre primero tenés que calcular su estiramiento en función de la masa colgada.
Después, haciendo $\dfrac{F(x)}{k}$ lo que obtenés es la variación en la longitud del resorte (lo que te piden) y vale porque te aclararon que es pequeña respecto del largo.

El sentido de la fuerza lo ves del signo de la misma derivada (se contrae).