Ejercicio del Libro de Fundamentos Físicos de la informática UNED - Distribución de cargas con simetría esférica.

[Eduzyrtin]

Hola, estoy empezando en la carrera de Informática de la UNED y con el trabajo, ando muy flojo en física.
He llegado a este problema "resuelto" del libro, pero no soy capaz de llegar a las soluciones, es más, no se ni por donde empezar.

Ejercicio 1:
Una esfera conductora de radio R queda envuelta por una delgada capa esférica, también conductora, de radio interior 2R, concéntrica con la anterior. En el espacio existente entre ambas, se introduce una distribución volúmica de cargas cuya densidad viene dada por:

$\rho(r) = \rho _{0}[1+\frac{R^2}{r^2}] C/m^{-3}$ para $R \leq r \leq 2R$

Ambas esferas conductoras se conectan a tierra. Determinar el valor de las cargas sobre la esfera interior, así como sobre las superficies interior y exterior de la capa esférica exterior.



Solución: $q = -4\pi\rho _{0}R^{3}[2Ln2+\frac{1}{3}];q = -4\pi\rho _{0}R^{3}[\frac{11}{3} - 2Ln2];q_{e}=0$


Ya me ha salvado muchas veces este foro con otros ejercicios, pero este se me resiste ya que no he hecho ninguno parecido.

Muchas Gracias!!

[Al2000]

Creo que la forma más simple de calcular cuánto vale cada carga es calculando la diferencia de potencial entre la esfera y la cáscara. Nota que las cargas $q_i$ y $q_e$ no influyen en ese cálculo, pues el campo en el interior de una carga distribuida uniformemente en una cáscara esférica es nulo. Te quedaría la siguiente expresión:

$$\Delta V = - \int \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell = - \int_R^{2 R}\!\! E_{(r)}\, dr = 0$$

donde $E_{(r)}$ es el campo producido por la carga $q$ y la carga distribuida en el volumen:

$$E_{(r)} = \underbrace {\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2}}_\text {campo esfera interior} + \underbrace {\frac 1 {\epsilon_0 r^2} \int_R^r\!\! \rho_{(x)}\,x^2\, dx}_\text {campo carga distribuida}$$

Se puede determinar entonces la única incógnita $q$. Para determinar $q_i$ bastará aplicar el teorema de Gauss a una superficie contenida completamente en la cáscara conductora, lo cual nos dirá que $q_i$ es el negativo de la carga total encerrada

$$q + 4 \pi \int_R^{2 R}\!\! \rho_{(x)}\,x^2\, dx$$

El valor de $q_e$ debe ser nulo pues la superficie externa de la cáscara no es afectada por lo que existe en su interior y el potencial es nulo, por estar conectada a tierra.

Si te quedan dudas, pregunta.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Eduzyrtin]

¡Mil gracias! Estaba enfocándolo fatal, pero ahora lo veo muy claro.