Metodo de las imagenes

[famaff]

Buenas tengo el siguiente problema:
Sean dos planos conductores perpendiculares y puestos a potencial nulo en presencia de una carga q. Las distancias de ésta a cada plano son a y b

Diagrama:

y
|
|
|
| * carga q
|
|____________________
x
Calcule la densidad de carga y la carga total inducida sobre cada plano
(Aclaro que a es la distancia en x y b la distancia en y en este caso)

Bien, lo que quiero intentar hacer para encontrar la densidad de carga es lo siguiente
$(dV/dn)sup= sigma*epsilon_0$ donde $dV/dn$ es la derivada normal a la superficie. Lo que no entiendo es que tomo como la normal en este caso, porque al tener dos superficies perpendiculares tendría dos normales que son perpendiculares también (una normal al plano x y otra normal al plano y)
Entonces no me queda claro respecto a que variables derivo $V$

[Abdulai]

... Lo que no entiendo es que tomo como la normal en este caso, porque al tener dos superficies perpendiculares tendría dos normales que son perpendiculares también (una normal al plano x y otra normal al plano y)

Es que necesitásr 3 cargas extra para conseguir la simetría respecto de los dos planos.



Con un ángulo de 60° ya necesitás 5 cargas extra:

Mientras el ángulo sea de la forma $\dfrac{180}{n}$ se puede realizar la construcción (con $2n$ cargas)


En el caso de dos planos paralelos también se puede aplicar, solo que necesitas infinitas cargas:

[famaff]

Buenas! Ya pude plantar todo eso y encontrar V, lo que no entiendo es lo que escribí en el primer posteo sobre la normal

[Abdulai]

Es respecto a la normal de cada plano.

Para el plano vertical: $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ que vale para $x=0\;,\;y\ge 0$

Y para el horizontal: $\dfrac{\partial V}{\partial y}$ que vale para $y=0\;,\;x\ge 0$

[famaff]

entonces $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ seria igual a $\dfrac{\partial V}{\partial y}+\dfrac{\partial V}{\partial x}$?

[Abdulai]

entonces $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ seria igual a $\dfrac{\partial V}{\partial y}+\dfrac{\partial V}{\partial x}$?

No.

¿Por qué pensás que la derivada direccional sería asi?

[Richard R Richard]

Hola sin se trata de dos conductores planos cargados, los planos tienen extensión en la coordenada $z$ , y por simetría podemos tomar $z=0$
Por conveniencia para integrar es mejor poner el cero de referencia en la carga $Q$.

Si el potencial de los planos es nulo, es justo pensar que los conductores habrán inducido una carga igual en modulo y de signo contrario a $Q$ es decir

$-Q=\dst\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-a}^{\infty}\sigma_{{x,z}}dxdz+\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-b}^{\infty}\sigma_{{y,z}}dydz$


la densidad es la carga sobre la superficie, como desde el 0 al infinito ambos tienen la misma carga 1/4Q distribuidos, el otro medio Q entiendo que depende del angulo entre la esquina y la carga

$Q/2=Q_{x(0-a)}+Q_{y(0-b)}$

$\dfrac{Q_{y(0-b)}}{Q_{x(0-a)}}=\tan\alpha =\dfrac{b}{a}$

de donde se puede saber cuanta carga hay en cada semiplano

$Q_x=\dfrac14 Q+Q_{x(0-a)}$

$Q_y=\dfrac14 Q+Q_{y(0-b)}$

la superficie del semiplano es infinita dividir la carga por la superficie de ese modo para hallar una densidad es un sin sentido ,por lo que importante es calcular la carga total en cada semiplano...