Problema de Fuerza magnética

[Jclucass]

Una partícula de masa m y carga que está suspendida de un hilo inextensible de longitud l y sin masa en un campo gravitatorio constante vertical cuya aceleración es g. La partícula sigue una trayectoria circular dada por el vector de posición r(t) = R(cos$/omega$t;sen !0t; 0) donde R es el radio de la Ûrbita (hemos tomado origen de coordenadas en el centro de la Ûrbita) y !0 > 0 (la partÌcula se mueve en sentido antihorario vista desde arriba). (a) Hallar, a partir de la segunda Ley de Newton, la velocidad angular !0 en funciÛn de R; g; l. (b) Si sobre el sistema se aplica un campo magnÈtico constante B = (0; 0; B) hacia arriba (B > 0), observamos que la partÌcula sigue igualmente una trayectoria circular de radio R pero con una frecuencia distinta ! > 0. øCu·nto vale !?

[Jclucass]

Una partÌcula de masa m y carga que está· suspendida de un hilo inextensible de longitud l y sin masa en un campo gravitatorio constante vertical cuya aceleración es g. La partícula sigue una trayectoria circular dada por el vector de posición r(t) = R(cos $\omega$;sen $\omega$t; 0) donde R es el radio de la órbita (hemos tomado origen de coordenadas en el centro de la órbita) y (la partícula se mueve en sentido antihorario vista desde arriba). (a) Hallar, a partir de la segunda Ley de Newton, la velocidad angular $\omega$ en función de R; g; l. (b) Si sobre el sistema se aplica un campo magnético constante B = (0; 0; B) hacia arriba (B > 0), observamos que la partÌcula sigue igualmente una trayectoria circular de radio R pero con una frecuencia distinta. ¿Cuanto vale $\omega$?

[Jclucass]

Perdón, por el primero que se me fue el dedo.
El ejercicio es tan fácil como
A) Es un péndulo cónico en donde calculo por dinámica $\omega$
B) Aplico la Fuerza de Lorentz $\vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B)}$
y el resultado es
$\omega = - q/m B$
Es así de "Facil" o me falta algo

[delmar7]

Hola

A) Se tiene el vector posición $\vec{r(t)}=Rcos(wt) \vec{i}+R sen(wt) \vec{j}$ con ello se obtiene por derivación tanto la velocidad $\vec{v(t)}=Rw(-sen(wt)\vec{i}+cos(wt)\vec{j})$ como la aceleración $\vec{a(t)}=-Rw^2(cos(wt)\vec{i}+sen(wt)\vec{j})$ con estos resultados se aplica la segunda ley de Newton, considerando que las fuerzas sobre la partícula, son la gravitatoria $\vec{F_g}$, la tensión de la cuerda $\vec{T}$ denominando $\alpha$ el ángulo que forma la cuerda con el eje Z, es constante y su seno es $R/l$ se tiene :

$\vec{F_g}+\vec{T}=m \vec{a(t)}$ desarrollando :

$-mg \vec{k}+Tcos(\alpha)\vec{k}+Tsen(\alpha)(-cos(wt)\vec{i}-sen(wt)\vec{j})=-mRw^2(cos(wt)\vec{i}+sen(wt)\vec{j})$

De acá se obtienen :

$-mg+T cos (\alpha)=0$ Ec 1

$Tsen(\alpha)=mRw^2$ Ec 2

De la Ec 1 se despeja T y luego de la Ec 2 se despeja w

B) El método es el mismo vector posición, velocidad y aceleración y fuerzas y sencillamente entra a tallar la fuerza magnética $\vec{F_m}$ luego se tiene :

$\vec{F_m}+\vec{F_g}+\vec{T}=m \vec{a(t)}\Rightarrow{qwRB(cos(wt) \vec{i}+sen(wt)\vec{j})-mg\vec{k}+Tcos(\alpha)\vec{k}+Tsen(\alpha)(-cos(wt)\vec{i}-sen(wt)\vec{j})=-mRw^2(cos(wt)\vec{i}+sen(wt)\vec{j})}$ donde w es la nueva frecuencia

Desarrollando se llegan a las ecuaciones en las direcciones vertical y radial :

$-mg+T cos (\alpha)=0$ Ec 1

$qwRB-Tsen(\alpha)=-mRw^2$ Ec 2

De la 1 se despeja T luego de 2 se despeja w

Saludos

[Jclucass]

Muchísimas gracias,
Una pregunta si aproximo tan$\omega$ =sen$\omega$ sale mi solución. ¿Está mal esa aproximación?