Otras carreras ley biot savart para una densidad de corriente superficial

[fafafa]

buenas, quiero calcular el campo magnético generado por un cinta conductora rectilínea y de lados C y D, con una intensidad de corriente distrivuida uniformemente en todo su ancho.

el campo magnético lo debo calcular en un punto (solo en uno) del plano de la cinta a una distancia H del borde mas próximo de la cinta.

para esto debo usar la ley de biot savart:

$\dst\vec{B}=\frac{{\mu}_{0 }}{ 4\pi}\int\int \frac{\vec{k}(\vec{r})\wedge\vec{er}}{{r}^{ 2} }ds$

donde ${r}^{2}$ queda como ${(C+H-x)}^{ 2}+(D-y)}^{ 2}$

la cuestión es que no se si $\vec{k}(\vec{r})$ es un diferencial de linea $\vec{dl}$.En ese caso, debido a que la corriente es uniforme en toda la superficie y tiene la dirección al eje Y quedaría $\vec{dy}$.

he tratado de imaginarme el problema como varios cables uno al lado del otro, pero no he llegado a dar con la solución.

[Mossy]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

No entiendo lo de que si $\vec{K}$ es un diferencial de línea. La $\vec{K}$ es una densidad superficial de carga, no es ningún diferencial. El diferencial de superficie en cartesianas será $dS=dx dy$, sólo tienes que integrar la integral doble entre los extremos de tu problema.

Saludos

[fafafa]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

¿diferencial superficial de carga o de corriente?¿y como seria ese vector ?

[Mossy]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

Ni de la una ni de la otra, jeje. El diferencial de superficie, de la superficie sobre la que estás integrando. ¿Te han explicado la ley de Biot-Savart? Quizás sería mejor conocerla un poco antes de ponerse a hacer ejercicios. Para una corriente filamental, la ley es

$\displaystyle \vec{B} = \frac{\mu _0}{4 \pi} \int \frac{I \; \vec{dl} \times \hat{R}}{R^2}$

Donde el vector $\vec{R}$ es la distancia entre los puntos fuente (los generadores del campo) y el punto campo (aquel donde quieres calcular el campo). El tema es que una vez definidas las densidades de corriente superficial $\vec{K}$ y volúmica $\vec{J}$ son equivalentes las siguientes expresiones

$I \vec{dl} \sim \vec{K} dS \sim \vec{J} dV$

donde $dS$ y $dV$ son los diferenciales de superficie y de volumen. Por lo tanto, la expresión de Biot-Savart la puedes modificar para distribuciones superficiales y volúmicas de corriente. En tu caso, la que has puesto

$\displaystyle \vec{B} = \frac{\mu _0}{4 \pi} \iint \frac{ \vec{K} \times \hat{R} \; dS}{R^2}$

Entiendes ahora lo del $dS$?

[fafafa]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

hasta ahi entiendo, pero¿cuales serian las coordenadas del vector K?

[Mossy]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

Te dicen que $\vec{K}$ es uniforme, luego será constante. Por lo tanto, dependiendo de cómo sitúes el plano en tu sistema de coordenadas tendrás $\vec{K} = K \hat{x}$ o bien $\vec{K} = K \hat{y}$.

Si haces un dibujillo lo verás mejor.

[Richard R Richard]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

Te dicen que $\vec{K}$ es uniforme, luego será constante.

No quisiera liar la cosa, pero si $\vec K$ es uniforme puedes escribirlo como el producto de un escalar que sería una densidad superficial de corriente, por el vector normal de la sección o superficie que atraviesa

$\vec K=|K| \vec N$

donde $\vec N$ es el vector unitario perpendicular la sección que esta atravezando la corriente y eso te indicara la dirección., que como dice Mossy puede coincidir o no con alguno de tus ejes de coordenadas.

[fafafa]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

gracias, pensaba que como en el caso de una densidad de corriente lineal $\vec{dl}$(cable),el $\vec{K}$, estaría apuntando en la dirección de la corriente (tangente a la superficie), y no normal a la superficie.

[Mossy]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

Yo la verdad es que no entendí muy bien lo que dijo Richard. Tanto la densidad superficial $\vec{K}$ como la densidad volúmica $\vec{J}$ van en la misma dirección que los portadores de carga, y estos están limitados a moverse sobre la superficie. Es como derramar agua sobre una placa cuadrada de vidrio que está inclinada un cierto ángulo.

[Julián]

Re: ley biot savart para una densidad de corriente superficial

La magnitud de $\vec{K}$, mejor representada por $\vec{{J}_{s}}$ es $\frac{A}{m}$, tal que en cuanto a módulo $\left\vert{} \vec{{J}_{s}} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{H} \right\vert{}$ y en cuanto a dirección son perpendiculares.

Ahora, $\vec{{J}_{s}}$ solo es útil en las discontinuidades ya que solo contribuye al campo magnético en su límite con la superficie. Por lo tanto para calcular el campo magnético total hay que recurrir a la densidad de corriente $\vec{J}$

$\dst \vec{J} = {\int}_{l} \vec{{J}_{s}} . \frac{d l}{A (l)}$ , y ya que es constante $\dst \vec{J} = \vec{{J}_{s}} . \frac{l}{A }$y donde $l$ está dado en metro.

Si reemplazas esto, quedará la ley de biot savart como dice mossy.

creo que estás confundiendo RRR a la densidad superficial de corriente con la densidad de carga superficial, que en un conductor perfecto produce un campo $\vec{E}$ paralelo a $\hat{n}$ y la variación de densidad de carga produce una variación de $\vec{E}$ y por lo tanto una densidad de corriente de desplazamiento en dirección paralela a $\hat{n}$. Que considerando un medio con resistividad (es decir un conductor no perfecto), tendremos una componente de campo $\vec{{E}_{1}}$ paralelo a $\hat{n}$ y un componente de campo $\vec{E}$ paralelo a $\vec{J}$ tal que $\vec{E}_{2} = {\sigma}^{-1} \vec{J}$. El campo $\vec{E}$ total será ${\vec{E}}_{1} + {\vec{E}}_{2}$, es decir, "apunta" hacia el medio con resistividad y por lo tanto el flujo de energía, dado por el vector de poynting:

$\dst d \vec{S} = \vec{H} \times \vec{E} = \vec{H} \times ({\vec{E}}_{1} + {\vec{E}}_{2}) = (\left\vert{} \vec{{J}_{s}} \right\vert{} d\hat{l} \times \hat{n}) \times (\frac{{\rho}_{s}}{d A} \hat{n} + {\sigma}^{-1} \left\vert{} \vec{J} \right\vert{} d \hat{l})$

En cambio en un conductor perfecto

$\dst d \vec{S} = (\left\vert{} \vec{{J}_{s}} \right\vert{} d\hat{l} \times \hat{n}) \times ( {\sigma}^{-1} \left\vert{} \vec{J} \right\vert{} d \hat{l})$

El flujo de energía "va" paralelo al conductor.

Creo que el problema está planteado fuera de contexto, no tiene sentido calcular un campo magnético a una distancia $H$ del conductor dando solo $\vec{{J}_{s}}$ por el solo hecho de que la densidad de corriente superficial es útil en los problemas de discontinuidad donde hay un medio dieléctrico y un conductor, muy útil en electromagnetismo y en el estudio de la onda electromagnética transmitida y reflejada pero si no se lo pone en contexto a un estudiante, pasa eso (no se entiende).

PD: por cierto no se quién fue el genio que planteó dicho problema y llamó a una variable distancia H en un problema de magnetismo.