Otras carreras Circuitos Transitorios de Primer Orden (Uso de Transformada Laplace)

[Nao]

Buenas noches, ¿me podrían ayudar con este problema?

Para el circuito de la figura, el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo.

a) Calcular i(t) mediante la ecuación general
b) Calcular i(t) mediante transformada de Laplace



Este fue mi procedimiento para la a)

Ecuación diferencial régimen permanente : i(t) = [i(0^+)-ip(0^+)]e^-(t/τ) + ip(t)

Cortocircuitando el inductor, me quedaría:
V = I x R, I =V/R
i(0^-) = 20V/4k = 5mA
i(0^-) = 5 mA

Constante de tiempo tao (τ) = L/R (Para inductores)
------> τ = 0.66/5 => 0.132 ms
i(0^+) = i(0^-) = 5 mA

Para ip(0^+), el inductor es un cortocircuito
ip( 0^+ ) = 20V/(4k+6k) = 20/10 = 2 mA
ip(t) = 2 mA
------> i(t) = (5 mA - 2 mA) * e^-(t/0.132τ) + 2 mA

i(t) = [3e^(-7.57t) + 2] mA


Así hice la b) pero no estoy seguro:

Ecuación diferencial : diL(t)/dt + (R/L)*iL(t) = (R/L) * ig(t)
Cuando t=0^- , el interruptor está abierto
---> i(0^-)=0 [corriente inicial]

Dominio Laplace:
Por KVL: 20/s = 4I(s) + LsI(s) - Li(0^-)
20/s = 4I(s) + 0.66 sI(s) - 0
20/s = I(s) [4+ 0.66 s]
I(s) = 20/(4+0.66s)

Resolviendo la transformada para corriente:
5 - 5e^(-6.060 * t)

----> i(t) = 5[1 - e^(-6.060 * t] mA

[Alriga]

Hola Nao, no vemos el esquema del circuito. Por favor inserta correctamente la imagen del circuito, recuerda que las instrucciones para ello las puedes encontrar en Cómo adjuntar imágenes en la nueva versión vB5 del foro

Saludos.

[Nao]

Gracias por el aviso, ahora lo inserto.

[Abdulai]

Así hice la b) pero no estoy seguro:

Ecuación diferencial : diL(t)/dt + (R/L)*iL(t) = (R/L) * ig(t)
Cuando t=0^- , el interruptor está abierto
---> i(0^-)=0 [corriente inicial]

No, en $t=0^-$ el interruptor viene cerrado desde el inicio del universo, por lo tanto $i(0^-)=5mA$

,,,,,,,
Resolviendo la transformada para corriente:
5 - 5e^(-6.060 * t)
----> i(t) = 5[1 - e^(-6.060 * t] mA

Por mas que lo resolviste con otra corriente inicial, la final debía ser 2mA.

Ah! el ítem (a) está bien.

[Nao]

Abdulai , si me di cuenta que luego lo consideré la i(0^-)=0, cuando era i(0^-) = 5 mA. Y claro, al reemplazar el t=0, debería salir una i(t) = 2mA para las dos formas a) y b). Lo estoy resolviendo pero la b) me sale un valor distinto al del a) al momento de hacer. Tal vez este fallando en hacer la transformada

[Abdulai]

En la transformada planteas: "Por KVL: 20/s = 4I(s) + LsI(s) - Li(0^-)" cuando la resistencia efectiva no son 4k sino 10k (el interuptor esta abierto)


Por otro lado, en el ítem (a) no había revisado el valor de Tau ;
"Constante de tiempo tao (τ) = L/R (Para inductores)"
"------> τ = 0.66/5 => 0.132 ms"
debe ser τ = 0.66/10

Pero además hay un error en las dimensiones, si considerás R en Kohm y L en mH el Tau es de us (microsegundos). Una manera de evitar confusiones es resolverlo como mostró Alriga, pasando todo a unidades del SI.

[Nao]

Muchas gracias.

[Nao]

Gracias por los alcances

[Alriga]

...Para el circuito de la figura, el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo.

b) Calcular i(t) mediante transformada de Laplace

Trabajamos en el SI de unidades. Mediante Transformada de Laplace, el circuito que tienes al abrir el interruptor es:

$\dfrac{20}s+L I_0=(10000+s L) I$

Despejando:

$I(s)=\dfrac{\dfrac{20}s+L I_0}{10000+s L}$

$I_0=\dfrac{20}{4000}=0.005$

$L I_0=3.3\cdot 10^{-6}$

Sustituyendo y operando:

$I(s)=\dfrac{20+s \ 3.3\cdot 10^{-6}}{s(10000+s \ 660\cdot 10^{-6})}$

$I(s)=\dfrac{0.002}s + \dfrac{0.003}{15151515.15+s}$

Realizamos la Transformada Inversa de Laplace:

$i(t)=0.002+0.003 \ \ee^{-15151515.15 \ t}$

Saludos.

[Nao]

Gracias, me fue de mucha utilidad!

[Alriga]

...Para el circuito de la figura, el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo.

a) Calcular i(t) mediante la ecuación general

Trabajando en unidades del SI, aplicamos la 2ª ley de Kirchhoff al circuito:

$U=U_{R_1}+U_{R_2}+U_L$

$U=R_1 \ i + R_2 \ i + L \ \dfrac{\dd i}{\dd t}$

$U=20 \qquad R_1=4000 \qquad R_2=6000 \qquad L= 660\cdot 10^{-6}$

La ecuación diferencial a resolver:

$$20=10000 \ i + 660\cdot 10^{-6} \ \dfrac{\dd i}{\dd t}$$

Es una ecuación diferencial en variables separadas:

$\dfrac{660\cdot 10^{-6}}{20-10000 \ i} \ \dd i=\dd t$

$\dfrac{660\cdot 10^{-6}}{20} \cdot \dfrac{\dd i}{1-500 \ i}=\dd t$

Multiplicamos y dividimos por -500 para tener una integral inmediata:

$-\dfrac{660\cdot 10^{-6}}{20\cdot 500} \cdot \dfrac{-500}{1-500 \ i} \ \dd i=\dd t$

$\dst -\dfrac{660\cdot 10^{-6}}{10000} \cdot \int \dfrac{-500}{1-500 \ i} \ \dd i=\int \dd t$

Integrando:

$-\dfrac{660\cdot 10^{-6}}{10000} \Big ( \ln (1-500 \ i)+c_1 \Big )=t$

$\ln (1-500 \ i)+\ln c_2 = -15151515.15 \ t$

$\ln \big ( c_2 \ (1-500 \ i) \big )= -15151515.15 \ t$

$c_2 \ (1-500 \ i) = \ee^{ -15151515.15 \ t }$

Imponemos las condiciones iniciales.

$t=0 \quad \longrightarrow \quad i=0.005$

$c_2 \ (1-500 \cdot 0.005) = \ee^0 \quad \longrightarrow \quad c_2=-0.666667$

$1-500 \ i =-\dfrac 1{0.666667} \ \ee^{ -15151515.15 \ t }$

Despejamos la intensidad de la corriente del circuito:

$i =\dfrac 1{500} \left ( 1+ \dfrac 1{0.666667} \ \ee^{ -15151515.15 \ t } \right )$

$$i(t)=0.002+0.003 \ \ee^{-15151515.15 \ t}$$

Saludos.