1r ciclo Problema corriente eléctrica: potencia máxima

[medina00]

Enunciado: Una fuente de alimentación de fuerza electromotriz e y resistencia interna r se conecta a una resistencia externa R. Calcular cual debe ser el valor de esta resistencia para extraer la máxima potencia de la fuente.

He planteado que para hallar dicho valor debo derivar el potencial en función de R.

Con la ley de ohm he calculado la intensidad total del circuito: I=V/R donde V es e y R es la suma de ambas resistencias debido a que están el serie, r+R por lo tanto me queda que I = e/r+R.

Después con la formula potencial=I^2*R me queda que pot=e^2*R/(r+R)^2.

El problema lo tengo al hacer la derivada ya entiendo que es la derivada de un cociente por lo tanto ,(derivada del primero) e^2* (segundo sin derivar) (r+R)^2 - (primero sin derivar) e^2*R*(derivada del segundo) -2*(r+R)^-3*1/(denominador al cuadrado) (r+R)^4. No me coincide con el resultado que debería ser: e^2/(r+R)^2*(1-(2R)/(r+R))

En que estoy fallando? Gracias!!

[JCB]

Hola a tod@s.

Si $P=\dfrac{\epsilon^2R}{(R+r)^2}$

$\dfrac{dP}{dR}=\dfrac{(R+r)^2\epsilon^2-\epsilon^2R2(R+r)}{(R+r)^4}=\dfrac{\epsilon^2(R+r)-\epsilon^22R}{(R+r)^3}=\dfrac{\epsilon^2[(R+r)-2R]}{(R+r)^3}=0\Longrightarrow (R+r)-2R=0$,

$R=r$.

Nota: para saber si se trata de un valor que maximiza la potencia, la segunda derivada debe ser menor que (criterio de la segunda derivada).

Saludos cordiales,
JCB.

[guibix]

Muy Buenas,

Te recomiendo que mires como usar LaTex para una mejor visualización de las expresiones matemáticas. Puedes obtener ayuda en Como introducir ecuaciones en los mensajes

Después con la formula potencial=I^2*R me queda que pot=e^2*R/(r+R)^2.

Solo como apunte: no confundir potencia con potencial.
Has elegido correctamente la ecuación de potencia por lo que asumo que el error es puramente con el nombre.

El problema lo tengo al hacer la derivada ya entiendo que es la derivada de un cociente por lo tanto ,(derivada del primero) e^2* (segundo sin derivar) (r+R)^2 - (primero sin derivar) e^2*R*(derivada del segundo) -2*(r+R)^-3*1/(denominador al cuadrado) (r+R)^4. No me coincide con el resultado que debería ser: e^2/(r+R)^2*(1-(2R)/(r+R))

En que estoy fallando? Gracias!!

Pues está bien, el resultado que das al final es el mismo que el que tu dedujiste. El $(r+R)^4$ en el denominador se reduce cancelando los $(r+R)$ de los denominadores. Solo son formas distintas de una misma expresión. Siempre que te parezca que te has equivocado iguala los dos resultados aparentemente distintos. Simplifica y si te da 1=1, 0=0 o cualquier igualdad válida, entonces tu respuesta es igual a la otra. Si te da 1=0 o cualquier igualdad falsa es que estás equivocado.

Ahora solo te falta igualar a 0 la expresión para obtener el valor de R deseado. Para ser más riguroso puedes volver a derivar para asegurar que la función es un máximo y no un mínimo, aunque con solo ver la función ya se ve que es un máximo.

[Alriga]

Redundando en lo que te explica guibix , el LaTeX es muy fácil, se aprende en media hora, además del tutorial que él te ha indicado, Cómo introducir ecuaciones en los mensajes, aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX

Además si haces doble click sobre cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita, si quieres copiarla, márcala con el ratón, con el botón de la derecha del ratón haz copiar, y a continuación entre medio de los corchetes [TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] ¡y ya tienes tu fórmula en LaTeX!

Por ejemplo, la expresión de JCB

[TEX]P=\dfrac{\epsilon^2R}{(R+r)^2}[/TEX] se ve:

$P=\dfrac{\epsilon^2R}{(R+r)^2}$

...He planteado que para hallar dicho valor debo derivar el potencial en función de R...

...Después con la formula potencial=I^2*R ...

Y como bien te explica guibix, no confundas Potencia Eléctrica con Potencial Eléctrico, son dos magnitudes físicas diferentes:

* La potencia en un elemento del circuito es la energía que aporta o disipa ese elemento por unidad de tiempo y se mide en vatios (W). Por ejemplo la potencia generada por la fuente de alimentación de este ejercicio es $P_{\epsilon}=\epsilon \cdot I$ (W). Por ejemplo la potencia consumida por la resistencia de carga de este circuito es $P_R=R I^2$ (W)

* La diferencia de potencial entre dos puntos del circuito es el trabajo necesario para mover la unidad de carga eléctrica entre ambos puntos y se mide en voltios (V). Por ejemplo la diferencia de potencial entre los bornes de la fuente de alimentación de este ejercicio es $V_{\epsilon^+} - V_{\epsilon^-}= \epsilon$ (V). Por ejemplo la diferencia de potencial en bornes de la resistencia de carga de este circuito es $V_{R^+} - V_{R^-} =R \cdot I$ (V)

Saludos.