1r ciclo Corona de dieléctrico dentro de una corteza conductora.

[SoyNuriaRC]

¡Buenas! Estaba estudiando electromagnetismo y me he topado con el siguiente ejercicio, el cual tras hacerlo mi respuesta difiere de la dada:

Una corteza esférica dieléctrica de radios $a$ y $2a$ se encuentra rodeada por una corteza esférica concéntrica conductora de radio 3a y espesor despreciable, conectada al suelo (V=0). Si la permitividad relativa del dieléctrico es $\epsilon_r = r^2/a^2$ y el campo eléctrico en su interior viene dado por el vector $\vec{E} = E_0 \vec{a}_r$, en coordenadas esféricas, determine la carga libre total del dieléctrico.



Yo lo he intentado hacer por la forma diferencial de la ley de Gauss, escogiendo una superfície de esférica de radio $r$, $r$ entre $a$ y $2a$ y notando que $\epsilon_r$ es constante en toda la superficie de Gauss:
$\int_S \vec{D} \vec{dS} = \int_S \epsilon_0 \epsilon_r E_0 \vec{a}_r \vec{dS} = \int_S \epsilon_0 \epsilon_r E_0 {dS} = \epsilon_0 \epsilon_r E_0 \int_ dS = \epsilon_0 \epsilon_r E_0 4 \pi r^2 = Q_\text{interior}$

de donde se obtiene $Q_i = \epsilon_0 r^2/a^2 E_0 4 \pi r^2 = \epsilon_\frac{1}{a^2} E_0 4 \pi r^4$

Para saber toda la carga libre que hay dentro del dieléctrico, escojo la superfície de Gauss de r=2a, obteniendo:
$Q = 64 \epsilon_0 E_0 4 \pi a^2$

En la solución, sin ambargo, lo hacen por la forma diferencial del teorema de Gauss:

$\rho=\vec{\nabla} \cdot \vec{D}=\vec{\nabla} \cdot\left(\varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}\right)=\frac{\varepsilon_0 E_0}{a^2} \vec{\nabla} \cdot\left(r^2 \vec{a}_r\right)=\frac{\varepsilon_0 E_0}{a^2} \frac{1}{r^2} \frac{d}{d r}\left(r^4\right)=\frac{4 \varepsilon_0 E_0 r}{a^2}$

$Q=\int_a^{2 a} \rho d v=\frac{4 \varepsilon_0 E_0}{a^2} 4 \pi \int_a^{2 a} r^3 d r=\frac{16 \pi \varepsilon_0 E_0}{a^2}\left|\frac{r^4}{4}\right|_a^{2 a}=60 \pi \varepsilon_0 a^2 E_0$

Vemos claramente una diferencia de $4 \epsilon_0 E_0 4 \pi a^2$ unidades.

Alrededor de esto, me surgen varias preguntas:
- Al utilizar la forma integral del teorema de Gauss, ¿Verdad que no se está diferenciando entre si todo estuviera rellenado de dieléctrico u solo entre a y 2a?

- ¿Puede que a la solución oficial le falte considerar la discontinuidad en el vector desplazamiento eléctrico? (que haya una $\sigma$), según $n \cdot (\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = \sigma$ Si es así, entonces $\sigma_{r=a} = 4 \epsilon_0 E_0 4 \pi a^2$, lo que recupera mi solución hecha por la ley de Gauss integral.

- Si el punto anterior es cierto, ¿no hay discontinuidad en el radio 2a? En cuyo caso, entonces la $\sigma_{r=2a} = -64 \epsilon_0 E_0 4 \pi a^2$. ¿Decimos entonces que no hay cargas libres en el interior del dieléctrico?

Ante todo, muchísimas gracias de antemano. Agradecería cualquier comentario que me ayudase a aclarar las ideas.

Nuria

[JCB]

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Yo lo he intentado hacer por la forma diferencial de la ley de Gauss, escogiendo una superfície de esférica de radio $r$, $r$ entre $a$ y $2a$ y notando que $\epsilon_r$ es constante en toda la superficie de Gauss:
$\int_S \vec{D} \vec{dS} = \int_S \epsilon_0 \epsilon_r E_0 \vec{a}_r \vec{dS} = \int_S \epsilon_0 \epsilon_r E_0 {dS} = \epsilon_0 \epsilon_r E_0 \int_ dS = \epsilon_0 \epsilon_r E_0 4 \pi r^2 = Q_\text{interior}$

de donde se obtiene $Q_i = \epsilon_0 r^2/a^2 E_0 4 \pi r^2 = \epsilon_\frac{1}{a^2} E_0 4 \pi r^4$

Para saber toda la carga libre que hay dentro del dieléctrico, escojo la superfície de Gauss de r=2a, obteniendo:
$Q = 64 \epsilon_0 E_0 4 \pi a^2$
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Hola a tod@s.

Supongo que es un gazapo, y habrás querido decir en su forma integral. Por su mayor sencillez, estoy acostumbrado a utilizar la ley de Gauss en su forma integral. Empleando esta, llego a que la carga que contiene el dieléctrico es $q=64\pi\epsilon_0E_0a^2$.

Siento no poder ayudarte más. A ver si alguien más aporta.

Nota: en lugar de carga libre, ¿ no será carga neta ?.

Saludos cordiales,
JCB.