1r ciclo Fuerza magnética

[medina00]

Me pide calcular la fuerza magnética que ejerce un campo magnético B1=-B k sobre el tramo 3.
Lo que he hecho ha sido:
$\vec{df} = I \cdot \vec{dl} \times \vec{B} = I \cdot dl \cdot B \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = I \cdot dl \cdot B<br />$
$f = \int \mathrm{d}f = \int I \cdot \mathbf{dl} \cdot \mathbf{B} = I \cdot \mathbf{B} \int \mathbf{dl} = \frac{I \cdot \mathbf{B} \cdot 2\pi \cdot r}{2} = I \cdot \mathbf{B} \cdot \pi a \hat{\mathbf{i}}<br />$
El problema es que la solución del profesor es: $2 \cdot \mathbf{I} \cdot a \cdot \mathbf{B}<br />$

Entiendo que al integrar dl me queda l y al ser una espir es 2*pi*r que sería la mitad por ser media espira no?

[JCB]

Hola a tod@s.

Intuitivamente, parece que tendría que ser tu resultado el correcto, pero si consideramos coordenadas polares, el vector posición de $\vec{dl}$ es $\vec{a}=a\sin\theta\hat\imath+a\cos\hat\jmath$. El vector perpendicular a $\vec{a}$ y de módulo $dl$, es $\vec{dl}=dl(-\sin\theta\hat\jmath+\cos\theta\hat\imath)$. Para comprobarlo, puedes imponer $\theta=0$, y verás que $\vec{dl}$ vale $dl\hat\imath$. Considerando también que $dl=ad\theta$,

$\vec{F}=\displaystyle\int_{L}i(\vec{dl}\times\vec{B})=i\displaystyle\int_{L}dl(-\sin\theta\hat\jmath+\cos\theta\hat\imath)\times B(-\hat k)=iaB\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\hat\imath+\cancelto{0}{iaB\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\theta d\theta\hat\jmath}=2iaB\hat\imath$

Saludos cordiales,
JCB.

[medina00]

¿Cómo sería sin usar coordenadas polares?

[JCB]

Seguramente habrá alguna manera más sencilla. A ver si alguien la conoce.