potencial asociado a un campo de fuerzas F conservativo

[AntonioV]

Conocida la energía potencial se obtiene la fuerza F=-∇U(r). Un campo de fuerzas F conservativo tiene asociado un potencial F=∇f. ¿La primera expresión sale de esta ultima? De ser así con: -∇U(r) obtendria el campo electrico E en lugar de la fuerza F?

[Weip]

Hola AntonioV. En este contexo hay un problema y es que las palabra "potencial" se usa como sinónima de "energía potencial" en muchos textos en detrimiento del potencial normal y corriente. Así que para distinguir denotaré por $U$ la energía potencial y $V$ el potencial.

Una fuerza conservativa cumple $\vec{F}=-\vec{\nabla}U$, es decir, es el gradiente de la energía potencial. Como bien comentas si tenemos un campo eléctrico conservativo entonces deriva de un potencial, $\vec{E}=-\vec{\nabla}V$. Multiplicando por la carga $q$ a ambos lados se obtiene $\vec{F}=-\vec{\nabla}U$, pues $\vec{F}=q\vec{E}$ y $U=qV$.

Esto se puede comprobar calculando. Si consideramos una carga puntual el potencial eléctrico es:

$V=\dst k\frac{q}{r}$

El gradiente se calcula derivando directamente recordando que si $r^2=x^2+y^2+z^2$:

$\dst\frac{\partial}{\partial x}\dst\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$

Análogamente se obtienen las derivadas respecto $y$ y $z$. De esta manera se obtiene:

$-\vec{\nabla}V=k\dst\frac{q}{r^2}\hat{r}=\vec{E}$

Con $\hat{r}=\vec{r}/r$. El procedimiento análogo sirve también para el campo gravitatorio que ya debes conocer bien.

Finalmente, sobre las expresiones $\vec{F}=-\vec{\nabla}U$ y $\vec{F}=\vec{\nabla} f$ realmente son la misma pues el signo - es convención. Aún así en física se usa mucho la primera mientras que en matemáticas se usa más la segunda. Pero en esencia son la misma ecuación realmente.