Una fuerza conservativa cumple , es decir, es el gradiente de la energía potencial. Como bien comentas si tenemos un campo eléctrico conservativo entonces deriva de un potencial, . Multiplicando por la carga a ambos lados se obtiene , pues y .
Esto se puede comprobar calculando. Si consideramos una carga puntual el potencial eléctrico es:
El gradiente se calcula derivando directamente recordando que si :
Análogamente se obtienen las derivadas respecto y . De esta manera se obtiene:
Con . El procedimiento análogo sirve también para el campo gravitatorio que ya debes conocer bien.
Finalmente, sobre las expresiones y realmente son la misma pues el signo - es convención. Aún así en física se usa mucho la primera mientras que en matemáticas se usa más la segunda. Pero en esencia son la misma ecuación realmente.
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