Campo eléctrico generado por una esfera.

[DOJEDA44]

Enunciado: Sea un volumen esférico y metálico de radio 1m y cargado con 3C. Calcular el campo a una distancia de 3m de su centro.

Entiendo que hay que aplicar la Ley de Gauss e igualar las dos formas posibles de calcular el flujo y despejando el campo, utilizando como superficie Gaussiana una esfera, pero no doy con la tecla.

[Richard R Richard]

Yo conozco una sola forma de aplicar Gauss, en una distribución esférica volumétrica o superficial, el campo resultante, es igual al creado por una carga puntual de igual valor a la total ubicada en el centro de la distribución.

$\vec E= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q}{r^2} \vec r=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{3C}{3^2m^2} \vec r$

saludos

[JCB]

Yo conozco una sola forma de aplicar Gauss, en una distribución esférica volumétrica o superficial, el campo resultante, es igual al creado por una carga puntual de igual valor a la total ubicada en el centro de la distribución.

$\vec E= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q}{r^2} \vec r=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{3C}{3^2m^2} \vec r$

saludos

Hola a tod@s.

De hecho, hay dos formas de aplicar la ley de Gauss: una, la buena, y la otra, la mala (es broma, claro ).

La ley de Gauss se puede aplicar utilizando su forma integral (más entendible para mí), y también su forma diferencial (la divergencia del campo eléctrico es igual a la densidad de carga, dividido por la permitividad). Reconozco que esta última forma es de una dimensión desconocida para mí.

Saludos cordiales,
JCB.

[IvanZ]

Hola! Se necesita utilizar una forma integral de Gauss (q=3C, R=1m, r=3m)
Según el teorema de Gauss $\int EdS_r=E\int dS_r=4\pi r^2 E=\sum q_i/\epsilon_0=q/\epsilon_0$

Por eso $E=\dfrac{q}{4\pi r^2 \epsilon_0}$

[JCB]

Hola a tod@s.

Sí, la forma integral y su desarrollo, los tengo conocidos. Dices, IvanZ, que se necesita utilizar la forma integral, luego, ¿ no se puede aplicar la ley de Gauss en su forma diferencial ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[IvanZ]

Hola a todos y Hola JCB! Para esta problema debemos usar conservación de carga. Si, se puede aplicar la ley de Gauss en su forma diferencial, pero en verdad no hay una diferencia. Mira:

$divE=\rho/\epsilon_0$, $q=\rho V$
Integremos por volumen
$\int divE dV=\rho V/\epsilon_0=q/\epsilon_0$

Segun teorema de la divergencia tenemos $\int divE dV=\int E dS_r$

Entonces, es lo mismo

[Richard R Richard]

Hola a todos y Hola JCB! Para esta problema debemos usar conservación de carga. Si, se puede aplicar la ley de Gauss en su forma diferencial, pero en verdad no hay una diferencia. Mira:

$divE=\rho/\epsilon_0$, $q=\rho V$
Integremos por volumen
$\int divE dV=\rho V/\epsilon_0=q/\epsilon_0$

Segun teorema de la divergencia tenemos $\int divE dV=\int E dS_r$

Entonces, es lo mismo

Naturalmente deben dar lo mismo de eso trata el teorema de Gauss Ostrogradsky.
Pero cuando resuelves en forma diferencial, Partes de la divergencia, debes proponer una función campo cuya divergencia sea una constante e igualarlo a la densidad de carga sobre la constante epsilon.Si verifica que la divergencia es lo solicitado yactienes tu función campo , solo queda reemplazar valores para calcularlo en un punto especifico.
La idea es que plantees como crece el campo desde el interior de la esfera. Plantees su divergencia y chequeen da la densidad sobre la constante, si es así reemplazas por el valor del radio exterior de la esfera en la ecuacion del campo y debe surgir la misma ecuacion que ya vimos.

Hojea el apartado Distribución esférica de carga, de la Wikipedia en https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ley_...9rica_de_carga
Saludos

[JCB]

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Pero cuando resuelves en forma diferencial, Partes de la divergencia, debes proponer una función campo cuya divergencia sea una constante e igualarlo a la densidad de carga sobre la constante epsilon.Si verifica que la divergencia es lo solicitado yactienes tu función campo , solo queda reemplazar valores para calcularlo en un punto especifico.
La idea es que plantees como crece el campo desde el interior de la esfera. Plantees su divergencia y chequeen da la densidad sobre la constante, si es así reemplazas por el valor del radio exterior de la esfera en la ecuacion del campo y debe surgir la misma ecuacion que ya vimos.
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Hola a tod@s.

Si no te es mucha molestia, y cuando dispongas de tiempo, a ver si puedes desarrollar matemáticamente esto, Richard R Richard.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

A ver si sale.

Hay que reconocer dos tipos de regiones una donde hay densidad de carga y otra donde no.

Analicemos la primera, aprovechando la simetría esférica y la densidad de carga constante podemos calcular la carga encerrada dentro de una esfera de radio r menor al radio exterior R.

$q=\rho \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Y la carga total de la esfera será

$Q=\rho \dfrac{4}{3}\pi R^3$

Podemos expresar la carga encerrada en función de la carga total de la esfera planteando un ratio

$\dfrac{q}{Q}=\dfrac{ r^3}{R^3}$

Conociendo la simetria podemos afirmar que el campo será una constante para cada radio r y que flujo del campo debe ser una constante sobre cualquier punto de una superficie esferica de radio r.

Así despejando la carga encerrada, y reemplazando el valor de la densidad podemos plantear una ecuación de campo

$E4\pi r^2=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}=\dfrac{Qr^3}{R^3\epsilon_0}$

despejamos el valor del campo

$\vec E=\dfrac{Qr^3}{4\pi r^2R^3\epsilon_0}\vec r=\dfrac{Qr}{4\pi R^3\epsilon_0}\vec r$

A esta función campo propuesta debemos calcularle la divergencia.

De nuevo la simetría esférica nos dice que las derivada del campo respecto a las variables angulares es nulo, menos en direccion radial.


$\nabla\cdot\vec E = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2 E_r)}{\partial r}<br /> + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta E_\theta)}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(E_\varphi)}{\partial \varphi}$

$\nabla\cdot\vec E= \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2 E_r)}{\partial r}<br />$

$\nabla\cdot\vec E= \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2 \dfrac{Qr}{4\pi R^3\epsilon_0})}{\partial r}<br />$

$\nabla\cdot\vec E= \dfrac{1}{r^2}\dfrac{3r^2 Q}{4\pi R^3\epsilon_0}<br />$

$\nabla\cdot\vec E= \dfrac{3Q}{4\pi R^3\epsilon_0}=\dfrac{Q}{V\epsilon_0}<br />$

$\boxed{\nabla\cdot\vec E= \dfrac{\rho}{\epsilon_0}}\quad\checkmark<br />$


Continuare

Visto que cumple, solo queda evaluar el valor del radio cuando llegamos al limite de la distribución en el radio exterior R

$\vec E=\dfrac{QR}{4\pi R^3\epsilon_0}\vec r=\boxed{\dfrac{Q}{4\pi R^2\epsilon_0}\vec r}\checkmark$

Y ya tenemos nuestro campo.

si puedo con ma tiempo veo que pasa fuera de la distribución.

Saludos

[IvanZ]

$\dfrac{q}{Q}=\dfrac{ r^3}{R^3}$

Hola! No estoy seguro que es correcto. $q=Q$! No debemos olvidarnos de conservacion de cargo. No tenemos otra fuente de carga excepto la esfera con la carga q. Q no puede ser mas que q.

[Weip]

Hola a todos.

Hola! No estoy seguro que es correcto. $q=Q$! No debemos olvidarnos de conservacion de cargo. No tenemos otra fuente de carga excepto la esfera con la carga q. Q no puede ser mas que q.

En principio no hay problema, las superficies gaussianas se pueden escoger de manera que tengan un radio menor al de la esfera cargada. Hay que ir con cuidado, pero es legal. En realidad yo tengo duda con este paso:

Así despejando la carga encerrada, y reemplazando el valor de la densidad podemos plantear una ecuación de campo

$E4\pi r^2=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}=\dfrac{Qr^3}{R^3\epsilon_0}$

Quizás lo entendí mal, pero, ¿no estás aplicando el teorema de Gauss en forma integral implícitamente? ¿O el área de la esfera entra por unidades? Vea como lo vea me parece un pelín forzado. Para resolver el problema usando la forma diferencial del teorema de Gauss creo que sería más adecuado hacer un ansatz del campo eléctrico basándonos en la simetría esférica; que no es muy natural porque ya sabemos la respuesta, pero saldría bien.

[JCB]

Hola a tod@s.

Parece que el desarrollo de Richard R Richard, es para una esfera con carga distribuida uniformemente en todo su volumen (con densidad volumétrica). Sin embargo, el enunciado indica “un volumen esférico y metálico de radio 1 m y cargado con 3 C”. Entonces, ya sea este volumen una esfera maciza, o bien una corona hueca, toda la carga está depositada en la superficie exterior. Es decir, que solo hay carga para $r=R$, distribuida superficialmente (con densidad superficial). Este párrafo está en línea con el mensaje # 10 de IvanZ.

En otro orden de cosas, tampoco entiendo que para deducir el campo eléctrico a partir de la forma diferencial, se deba emplear previamente, la forma integral. Este párrafo está en línea con el segundo párrafo del mensaje # 11 de Weip.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Ya veo que metí la pata hasta el pescuezo se trataba de una distribución sobre un material metálico entonces toda la carga está en la superficie y yo lo que hice fue suponerla como la carga distribuida en todo el volumen.

Respecto a la crítica de Weip, sí, el Ansatz que propuse era como pescarlo dentro de la pecera, justificándolo con la simetría en tres ejes de la esfera.

Al ser el material metálico toda la carga está en la superficie entonces hay un salto brusco en la función campo de 0 a el campo producido por una superficie esférica cargada, en el espesor que mida una capa de electrones, lo que hay que tener en cuenta es que el potencial permanece constante en toda la esfera o constante en función del radio.

Esto se puede justificar diciendo que todas las líneas de campo son radiales y hacia el exterior y como el campo en interior es nulo su divergencia también lo es.

Es difícil de analizar con la fórmula diferencial lo que sucede en el espesor de una capa de electrones para que cambie la divergencia hasta la densidad superficial sobre el espesor sobre epsilón cero.

Saludos

[JCB]

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Es difícil de analizar con la fórmula diferencial lo que sucede en el espesor de una capa de electrones para que cambie la divergencia hasta la densidad superficial sobre el espesor sobre epsilón cero.
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Hola a tod@s.

No sé si servirá de mucho, pero se trata de determinar $\vec{E}$ para $r=3\ m$, no para $r=R=1\ m$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Weip]

Hoal de nuevo.

Parece que el desarrollo de Richard R Richard, es para una esfera con carga distribuida uniformemente en todo su volumen (con densidad volumétrica). Sin embargo, el enunciado indica “un volumen esférico y metálico de radio 1 m y cargado con 3 C”.

Ya veo que metí la pata hasta el pescuezo se trataba de una distribución sobre un material metálico entonces toda la carga está en la superficie y yo lo que hice fue suponerla como la carga distribuida en todo el volumen.

Respecto a la crítica de Weip, sí, el Ansatz que propuse era como pescarlo dentro de la pecera, justificándolo con la simetría en tres ejes de la esfera.

Ciertamente Richard resolvió un problema estrictamente distinto, pero no considero que sea lo importante de la solución que propuso para utilizar la forma diferencial del teorema de Gauss en un caso práctico. Tampoco considero que tenga relación con la conservación de la carga que comentaba IvanZ: $q\neq Q$ porque Richard escoge una superfície gaussiana menor que el radio de la esfera metálica, con lo que $q=0$. De todas maneras en una densidad volumétrica de carga también se puede hacer esta separación y la conservación de la carga no se ve afectada, porque la carga encerrada en el volumen más pequeño no será la misma carga que hay en el volumen total de la esfera de manera que la carga total de la esfera se preservará.

Más allá de esto, lo que comentaba es más de fondo. Cuando se plantea:

$E4\pi r^2=\frac{\rho}{\epsilon_0}$

En mi opinión la cuestión es que aparece la superficie de la esfera $S=4\pi r^2$. No sé si Richard tenía en mente algún tipo de argumento para este paso. Que esa relación es un área se puede sacar por unidades, pero quizás estamos presuponiendo inconscientemente muchas cosas en esta igualdad: hemos escogido una superficie gaussiana respetando la superficie esférica y hemos entendido cómo es el vector normal a esta superficie respecto al campo eléctrico. Es decir estamos razonando algo como,

$\vec{E}\cdot{\vec{S}}=\vec{E}\cdot \vec{n}S=ES\cos(0)=ES=E4\pi r^2$.

Por un lado, la forma diferencial del teorema de Gauss no entiende de superficies; por otro, creo que estamos aplicando la forma integral de forma inconsciente y comprobando que la forma diferencial se cumple.

Por dar otra propuesta, entendiendo que tenemos simetría esférica el campo eléctrico será radial. La forma diferencial del teorema de Gauss es:

$\vec{\nabla}\cdot{\vec{E}}=\dst\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Donde $\rho=\sigma \delta(r-R)$, siendo $\sigma=Q/(4\pi R^2)$ la densidad superficial de carga y $R$ el radio de la esfera metálica. Usando coordenadas esféricas y sustituyendo la densidad:

$\dst\frac{1}{r^2}\dst\frac{d}{dr}(r^2E(r))=\frac{Q}{4\pi R^2\epsilon_0}\delta(r-R)$

Por el teorema fundamental del cálculo:

$r^2E(r)=\dst\int_{R}^{r}\dst\frac{Qr^2}{4\pi R^2\epsilon_0}\delta(r-R)dr$

Integrando, obtenemos la función delante de la delta de Dirac evaluada en $r=R$:

$r^2E(r)=\dst\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}$

Finalmente:

$E(r)=\dst\frac{Q}{4\pi \epsilon_0r^2}$