Campo eléctrico generado por una esfera.

[JCB]

Hola a tod@s.

Weip: la tercera cita que escribes en tu mensaje # 15, no la escribí yo, sino Richard R Richard. De hecho, hasta que no consulté la Wikipedia, ni siquiera sabía el significado de ansatz (aunque en el caso presente, parece más adecuado enfoque que estimación).

Te agradezco mucho el desarrollo de la forma diferencial con este otro ansatz , aunque me resulte realmente difícil de digerir.

Entiendo que la forma diferencial (y sus aplicaciones) de la ley de Gauss, se explica en Matemáticas o en Física, pero no en Ingeniería (yo al menos, no la vi).

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

En mi opinión la cuestión es que aparece la superficie de la esfera $S=4\pi r^2$. No sé si Richard tenía en mente algún tipo de argumento para este paso. Que esa relación es un área se puede sacar por unidades, pero quizás estamos presuponiendo inconscientemente muchas cosas en esta igualdad: hemos escogido una superficie gaussiana respetando la superficie esférica y hemos entendido cómo es el vector normal a esta superficie respecto al campo eléctrico. Es decir estamos razonando algo como,

$\vec{E}\cdot{\vec{S}}=\vec{E}\cdot \vec{n}S=ES\cos(0)=ES=E4\pi r^2$.

No exactamente lo pensé de ese modo, pero aún creo, más rudimentario y quizá mezclando conceptos, en un momento cuando me lié, no fui por solución al tratamiento vectorial que tu has hecho sino que busqué información en la página de la wiki ,de la puse el link, me hizo suponer que ese atajo era al menos lógico.

Por otro lado yo tampoco he visto en carrera el tratamiento matemático de la delta de Dirac , pero confío que tenemos en Weip, un buen interlocutor así que agradecido de aprender algo más por aquí en el foro.

Lo que me queda en el tintero es como la forma diferencial, puede explicar la caída con el cuadrado del radio al centro del valor del campo cuando estamos fuera de la distribución y la densidad de carga vuelve a ser localmente nula, solo se me ocurre una manera genérica abordarlo, basada en la forma integral si se quiere, como un ratio entre un flujo electromagnético constante y una superficie de control que crece con el cuadrado el radio.

Como segunda opción para el tratamiento diferencial tampoco veo viable considerar a la carga total de la esfera como una carga puntual, ya que esto no llevará a buen puerto, pues la divergencia del campo eléctrico de una carga puntual es fácilmente demostrable que resulta nula, para cualquier punto del espacio menos donde la función campo no esta definida que es donde la carga se halla ubicada.

Saludos

[Weip]

Hola a todos.

Weip: la tercera cita que escribes en tu mensaje # 15, no la escribí yo, sino Richard R Richard. De hecho, hasta que no consulté la Wikipedia, ni siquiera sabía el significado de ansatz (aunque en el caso presente, parece más adecuado enfoque que estimación).

Toda la razón, ya lo he corregido, sucedió que al poner las tres citas una se me borró sin querer y se me debió traspapelar porque escribí la cita a mano. Sobre este tema quería comentar que finalmente no utilicé la solución que dije originalmente del ansatz. La solución que propuse en el anterior mensaje vendría a ser resolver la ecuación diferencial $\vec{\nabla}\cdot{\vec{E}}=\rho/\epsilon_0$ directamente a pico y pala. Ahora, también intenté hacerlo con un ansatz y salió casi bien... pero no me convencía lo suficiente como para escribirla. Y como era demasiada información ya decidí dejarla aparte. La cuestión es resolver la ecuación diferencial:

$\vec{\nabla}\cdot{\vec{E}}=\dst\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Proponer un ansatz significa dar una expresión del campo eléctrico con constantes a determinar. Al ser un campo radial, podemos suponer un campo de la forma:

$E(r)=\dst\frac{a}{r^b}$

$a$ y $b$ deberían ser determinadas al imponer la forma diferencial del teorema de Gauss. La divergencia es:

$\vec{\nabla}\cdot{\vec{E}}=\dst\frac{a(2-b)}{r^{b+1}}$

Igualando a $\rho/\epsilon_0$, para que la divergencia sea constante $b=2$ y para que cuadren las demás constantes $a=Q/(4\pi\epsilon_0)$. Ahora, no acabo de ver claro que esto sea correcto: $\rho$ contiene una delta de Dirac así que realmente la divergencia no debe ser constante como tal. Al estar fuera de una integral la igualdad de funciones mucho sentido no tiene. Y si intento integrar a ambos lados para que la igualdad tenga sentido, la integral de la divergencia se tendrá que hacer usando el teorema de la divergencia, que no es más que la forma integral del teorema de Gauss.

Entiendo que la forma diferencial (y sus aplicaciones) de la ley de Gauss, se explica en Matemáticas o en Física, pero no en Ingeniería (yo al menos, no la vi).

No te creas, la forma diferencial aparece en las clases de teoría pero yo nunca había hecho ningún ejercicio práctico con ella, esta es la primera vez. Igual depende del profesor. Aunque en mi opinión estos problemas están hechos para hacerse con la forma integral porque usar la forma diferencial es bastante incómodo, el problema pide a gritos integrar a ambos lados todo el rato.

[Richard R Richard]

Lo que me queda en el tintero es como la forma diferencial, puede explicar la caída con el cuadrado del radio al centro del valor del campo cuando estamos fuera de la distribución y la densidad de carga vuelve a ser localmente nula, solo se me ocurre una manera genérica abordarlo, basada en la forma integral si se quiere, como un ratio entre un flujo electromagnético constante y una superficie de control que crece con el cuadrado el radio.

Como segunda opción para el tratamiento diferencial tampoco veo viable considerar a la carga total de la esfera como una carga puntual, ya que esto no llevará a buen puerto, pues la divergencia del campo eléctrico de una carga puntual es fácilmente demostrable que resulta nula, para cualquier punto del espacio menos donde la función campo no esta definida que es donde la carga se halla ubicada.

Me quede pensando si es acertada la forma en que veo el problema, lo escribo de otro modo.

Si aplicamos la forma integral del teorema, obtenemos que el campo eléctrico tiene una función matemática similar a la obtenida con una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.
Si aplicamos la divergencia al campo creado por una carga puntual, resulta nulo en todo el espacio , y sería válido para la carga distribuida, mientras la distancia radial del punto análisis al centro sea mayor al radio de la esfera.
Así que si la carga sobre la esfera está distribuida volumétrica o superficialmente, para todo punto fuera de la esfera la divergencia calculada por la función campo resultará nula.. Esto se me hacia dificil de ver , pero creo que es lógico, los únicos puntos del espacio que son fuente o sumidero de campo eléctrico son los pertenecientes al volumen de la esfera, y si es material metálico entonces solo ocurrirá en la superficie y no en el interior.