1r ciclo Campo eléctrico I

[The Higgs Particle]

Dos cargas iguales, $+q$ se encuentran sobre el eje OY a una distancia $d/2$ cada una. Se añade una carga $-Q$, de masa $m$ que se mueve sobre el eje OX. Si suponemos que $x \ll d$,
a) Demostrar que el movimiento corresponde a un MAS
b) Velocidad de $-Q$ cuando pasa por el origen

a) El campo eléctrico en el punto donde se encuentra la carga -Q es:

$E_T = 2K \left( \dst \frac{q}{ r^2} \right) \cos (\alpha)$

Así,

$\vec{F} = - KQq \dst \left( \frac{x}{ r^3} \right) \hat{\imath} = m \vec{a}$

Como

$r =\sqrt{(x)^2 + (d)^2}$ pero $d\geqslant x \to r^3 \cong d^3$

Despejando:

$a = \dst \frac{\dd^2 x}{\dd t^2 }; \vec a = \left( \dst - \frac{ KQq}{md^3 } x \right)\hat{\imath}$

donde:

$\dst \frac{ KQq}{md^3 } = N =$ cte.

Pero no sé si esto es suficiente para suponer que es MAS porque:

1. El signo menos no sé muy bien dónde incluirlo, ya que en el módulo de la fuerza hay que poner $Q$ y no $-Q$, para que apareciera he metido donde he podido el vector unitario $\hat{\imath}$

2. ¿Se podría poner $N = \omega^2$? Lo digo porque sé que en el MAS

$\dst \frac{ \dd^2 x}{ \dd t^2} = - \omega^2 x$

[Al2000]

Re: Campo eléctrico I

El signo está bien en donde lo pusiste. Si escribes la aceleración como $\dst \vec a = \frac {d^2 x}{dt^2}\, \hat \imath$ te quedará directamente la ecuación del MAS al igualar componentes. Que llames a la constante $N$ o $\omega ^2$ es irrelevante. Lo que hace que el MAS sea un MAS, es que la aceleración sea proporcional a la posición de la partícula y que la fuerza sea restauradora. En realidad ya has demostrado que el movimiento es un MAS en el instante en el que haces la aproximación y muestras que la fuerza es proporcional al desplazamiento y en sentido opuesto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO: Para añadir que en una segunda lectura me doy cuenta que tienes mal la expresión de $r$. El enunciado no es claro, pero me imagino que son dos cargas $+q$ a sendas distancias $d/2$ del origen. Si eso es correcto, entonces $r = \sqrt {x^2 + (d/2)^2}$.

[The Higgs Particle]

Re: Campo eléctrico I

EDITO: Para añadir que en una segunda lectura me doy cuenta que tienes mal la expresión de $r$. El enunciado no es claro, pero me imagino que son dos cargas $+q$ a sendas distancias $d/2$ del origen. Si eso es correcto, entonces $r = \sqrt {x^2 + (d/2)^2}$

Cierto, se me ha ido.

Entonces la velocidad en el punto medio no es más que $v = \omega \sqrt{A^2-x^2} = N A$, ¿no?

[Al2000]

Re: Campo eléctrico I

Bueno, si el enunciado es eso que pusiste en el primer mensaje, habría que responder en forma genérica, pues no se establecen las condiciones iniciales. Yo respondería que si la partícula se suelta en el punto de coordenadas $x_0$, entonces la velocidad en el origen sería $v = \omega x_0$. Si estás llamando $A$ a la amplitud del movimiento, entonces sería $\omega A = \sqrt N \, A$.

Habría que contrastarlo con el resultado que se obtiene por conservación de la energía, $\frac 1 2 m v^2 = q V$ para ver si hay alguna diferencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$