1r ciclo Campo eléctrico IV

[The Higgs Particle]

"Para un cilindro de longitud infinita y de radio $R$ determina el campo a distancias radiales $r>R$ y $r<R$, sabiendo que la densidad volumétrica de carga varía como: $\rho =\rho_0 \left( a-r/b\right)$"


No tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Qué superficie gaussiana voy a coger para que encierre algo infinito?

[Al2000]

Re: Campo eléctrico IV

Un cilindro coaxial con la distribución de carga. Por supuesto que el cilindro gaussiano es de longitud finita (dale el nombre que te de la gana) pero como la distribución de carga no depende de la posición a lo largo del cilindro ni del ángulo alrededor, el campo debe ser radial uniforme y cualquier sección que consideres será idéntica a cualquier otra de tamaño similar.

Cuando vayas a calcular la carga encerrada deberás resolver una integral de volumen. Si partes del elemento de volumen en coordenadas cilíndricas, tendrás una integral triple. Alternativamente puedes dividir la distribución de carga en cáscaras cilíndricas, de nuevo apoyándote en el hecho de que la densidad solo depende de $r$. El volumen de una cáscara de longitud $L$, radio $r$ y grosor $dr$ es $dV = 2 \pi L r \, dr$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Campo eléctrico IV

Muchas gracias. He cogido el segundo método porque las coordenadas cilíndricas en mi caso se dan en segundo de carrera. A ver si está bien:

$\dst \oint \vec{E} \cdot \dd \vec{S} = \dst \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}$

Además, $\vec{E} || \dd \vec{S}$, ya que en un punto cualquiera la única componente del campo es la radial. Así, y teniendo en cuenta que el campo eléctrico es uniforme en todo el cilindro cargado:

$E S = \dst \frac{\rho V}{\epsilon_0} \to E (2 \pi rL) = \dst \frac{\rho_0\left( a - \frac{r}{b}\right) \times \left( \pi R^2L\right)}{\epsilon_0}$

Así:

$E = \dst \frac{\rho_0 \left( \dst \frac{a}{r } - \frac{1}{ b} \right) R^2}{2 \epsilon_0}$

[Al2000]

Re: Campo eléctrico IV

No puedes decir que la carga es $\rho V$ pues $\rho$ no es constante. Debes calcular la carga encerrada como $\dst q = \int \rho \, dV = \int \rho_0 \left(a - \frac r b\right)\left(2 \pi L r\, dr\right)$. Los límites de integración dependerán de si estás calculando el campo en el interior [0,r] o en el exterior [0,R].

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Campo eléctrico IV

Cierto, se me había olvidado que no era constante en el espacio.

- Para $r < R$:

$Q_{int} = \dst \int^{R}_{0} \rho (2 \pi r L \dd r) = \pi L \rho_0 R^2 \left( a - \frac{2R}{3b}\right)$

Así:

$\boxed{E = \dst \frac{\rho_0 R^2 \left( a - \dst \frac{2R}{3b}\right)}{2r \epsilon_0}}$

- Para $r > R$:

$Q_{int} = \dst \int_{r}^{R} \rho (2 \pi r L \dd r) = \rho_0 \pi L \left( a \left( r^2-R^2\right)- \frac{2 \left( r`3-R^3\right)}{3b}\right)$

De forma que:

$\boxed{E= \dst \frac{\rho_0 \left( a \left( r^2-R^2\right) - \dst \frac{2 \left( r^3-R^3\right)}{3b}\right)}{2r \epsilon_0 }}$

[Al2000]

Re: Campo eléctrico IV

Honestamente, creo que no entiendes el concepto de "carga encerrada". Deberías hacer un dibujo del cilindro y de la superficie gaussiana para cada caso y determinar en forma puramente gráfica cuál es la carga encerrada por la superficie gaussiana.

[Richard R Richard]

Re: Campo eléctrico IV

Yo lo veo de esta manera

$Q_{int}=\dst\int_V\rho dV$

y

$\dst \oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S} = \dst \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}$

como la superficie tiene un eje de simetría cilíndrica $\vec E$ es constante para el mismo radio por ello se puede hacer.

$E S = \dst \dfrac{\int_V\rho dV}{\epsilon_0}$

Y obtener el valor del campo pues es factor común en la integral de la superficie

el problema se divide en dos partes r<R la carga interior a la superficie de radio r que impones aumenta de acuerdo a la función del enunciado y otra parte donde la carga es constante pues por mas que impongas una superficie de radio mayor en el interior siempre se encierra la misma carga.

como las integrales de simetría circular el dV lo puedes escribir como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y como la densidad de carga es constante tanto para el mismo anillo entre 0 y$2\pi r$ y para cualquier longitud entre 0 y L puedes escribirla misma integral

$Q_{int}=\dst\int_V\rho dV=\int_0^r\rho 2\pi r Ldr$

$Q_{int}=\dst\int_V\rho dV=2\pi L\rho_0\int_0^rr\left(a-\dfrac rb\right) dr$

$Q_{{int}_r}=\pi Lr^2\rho_0-2\pi L\rho_0\dfrac{r^3}{3b}$

luego la superficie que has elegido tiene un área lateral de $2\pi rL$ ,el flujo por las tapas del cilindro es 0 porque el campo es paralelo a la tapa

por lo que

$E=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0 2\pi rL}$

$E=\dfrac{\pi Lr^2\rho_0a-2\pi L\rho_0\dfrac{r^3}{3b}}{2\pi r L\epsilon_0}=\rho_0\dfrac{\dfrac a2-\dfrac{r^2}{3b}}{\epsilon_0}$

la carga máxima o total la obtienes cuando $r=R$

$Q_{int max}=\pi LR^2\rho_0 a-2\pi L\rho_0\dfrac{R^3}{3b}$

para radios mayores a R la superficie gaussiana crece pero la carga encerrada no.

entonces

$E S=\dfrac{Q_{int max}}{\epsilon_0}$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$=\dfrac{\rho_0R^2}{r\epsilon_0}\left(\dfrac a2-\dfrac{R}{3b }\right)=\dfrac 1r \dfrac{\rho_0R^2}{\epsilon_0}\left(\dfrac a2-\dfrac{R}{3b }\right)=\dfrac Kr$

Te pido Al me corrijas si escribi algo que no debo... Saludos

[Al2000]

Re: Campo eléctrico IV

Se ve bien, sólo hecho de menos el $\rho_0$ y factorizar al final.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Take It Easy]

Re: Campo eléctrico IV

Hola RRR. Para la carga interior de la superficie de Gauss ¿no sería:
$Q_{int}=\dst\int_V\rho dV=\int_0^r\rho 2\pi Lrdr$ ?
Quiero decir que te habrías dejado una $r$.

[The Higgs Particle]

Re: Campo eléctrico IV

Vale, ya entiendo. Me confundía que $r$ fuese más allá del cilindro interno y al mismo tiempo apareciera el mismo $r$ en $\rho$