Semiesfera de radio a y centro en el origen

[campete]

La corteza semiesférica de la figura, de radio a, ubicada con su centro en el origen, está uniformemente cargada con una densidad de carga σ=cte.
Sabemos que el campo eléctrico en z=0 es E=σ/4ε0 ·k (PISTA: La corteza semiesférica puede considerarse como la “suma” de infinitos anillos circulares de espesor infinitesimal)

1. Determinar el campo eléctrico creado en su eje de simetría (el eje z) para z > -a (excluye el punto singular z = -a) en función de σ y de a.

2.Determinar E(+a) y E(+2a) para el caso σ=+3.542nC/m2 y a=0.5m

Si alguien tiene alguna idea de como debería plantear el problema que no dude en comentar!

[delmar7]

Hola

Una forma, considerando a la superficie como la imagen de un campo vectorial de tal manera que los parámetros son coordenadas esféricas según el convenio internacional ($\rho >0, \ \ 0\leqq \theta \leqq \pi, \ \ 0 \leqq \varphi <2 \pi$) lo digo por que existe también el convenio americano.

$S: A \subset R^2 \rightarrow R^3$

$(\theta, \varphi) \rightarrow S(\theta,\varphi)=(r sen \theta cos \varphi, r sen \theta sen \varphi, r cos \theta)$ tal que $\pi/2 \leqq \theta \leqq \pi, \ \ 0 \leqq \varphi \leqq 2 \pi$

La cáscara se considera como una reunión de elementos de superficie cuya área es $\Delta S$ asociados a puntos de la cáscara, cada uno de ellos genera un campo eléctrico en un punto $z_0 \vec {k}$ este campo es :

$\Delta \vec{E}=C \frac{\sigma \Delta S (z_0 \vec {k}-(r sen \theta cos \varphi \vec{i}+ r sen \theta sen \varphi \vec{j}+ r cos \theta \vec{k}))}{||z_0 \vec {k}-(r sen \theta cos \varphi \vec{i}+ r sen \theta sen \varphi \vec{j}+ r cos \theta \vec{k})||^3}$ donde C es la constante de coulomb $C=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$


La intensidad de campo será la sumatoria de los campos creados por cada elemento y cuando estos tienden a cero la sumatoria se convierte en un integral doble :

$\vec{E}=\int_{\pi/2}^{\pi} \int_0 ^{2 \pi}C \ \sigma \ r^2 \ sen \theta \ d \varphi \ d \theta \ \frac{-r sen \theta cos \varphi \vec{i}- r sen \theta sen \varphi \vec{j}+(z_0- r cos \theta) \vec{k}}{(r^2+z_0^2-2z_0r cos \theta)^{3/2}}$

Son tres integrales una para cada componente las dos primeras salen cero, observa que primero se integra respecto $\varphi$ es decir se esta hallando el campo generado por un anillo (circunferencia) tal como sugieren. Ya esto es hasta un poco mecánico. Intenta y si tienes dificultades manifiestalas.

Saludos

Nota : Evidentemente a=r