Campo eléctrico generado por un hilo finito.

[jack_f]

Hola, estoy intentando comprender la fórmula para hallar el campo eléctrico utilizando ángulos, pero hay algo en la componente X que me desconcierta.

Las fórmulas, si no me equivoco, son:

$E_x = \frac{k \cdot q}{d} \cdot \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin{\theta} \,d\theta = \frac{k \cdot q}{d} \cdot (-\cos{\theta_2} + \cos{\theta_1})$
$E_y = \frac{k \cdot q}{d} \cdot \int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos{\theta} \,d\theta= \frac{k \cdot q}{d} \cdot (\sin{\theta_2} - \sin{\theta_1})$

Donde "d" es la distancia perpendicular desde el punto P al eje del hilo, y Theta 1 y 2 son los ángulos que forma "d" con las líneas que unen P con los extremos del hilo (imagen chapucera):




Entiendo que Theta 1 se trata como un ángulo negativo de cara a la integral, y Theta 2 como uno positivo. Y aquí llega mi problema.

Al integrar la fórmula de la componente X, como indico, me debería quedar $-\cos{\theta_2} + \cos{\theta_1}$ (o $\cos{\theta_1} - \cos{\theta_2}$ para los amigos). La intuición me dice que, suponiendo carga positiva en el hilo, el vector de componente X debería "huir" del ángulo mayor, ya que en cubre una mayor sección del segmento. Es decir, si en términos absolutos Theta 2 es mayor que Theta 1, el vector de componente X debería apuntar hacia el extremo izquierdo (es decir, signo negativo en el vector). Pero no es así.

Esto se acentúa cuando P ni siquiera está situado sobre el segmento (es decir, ambos ángulos son positivos o negativos). Para una carga positiva, lo intuitivo es pensar que el vector de componente X debería alejarse del segmento, pero apunta hacia él.

¿Dónde he cometido el error? ¿He integrado mal? ¿Me falta algún signo? ¿O, por contraintuitivo que parezca, es así como debe ser?

Gracias de antemano por la ayuda.

[JCB]

Hola a tod@s.

Considero un hilo de longitud $b+c$, colineal con el eje $X$ y cargado con una densidad lineal de carga $\lambda$. El módulo del campo eléctrico en el punto $P$ (situado a una distancia $a$ del hilo), debido a una carga elemental $dq$, es

$dE=\dfrac{kdq}{r^2}=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}$

Y sus componentes,

$dE_x=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}\cos\theta=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}\dfrac{-x}{r}=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}\dfrac{-x}{\sqrt{ a^2+x^2}}=\dfrac{-k\lambda xdx}{(a^2+x^2)^{3/2}}$

$dE_y=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}\sin\theta=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}\dfrac{a}{r}=\dfrac{k\lambda dx}{a^2+x^2}\dfrac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}=\dfrac{k\lambda adx}{(a^2+x^2)^{3/2}}$

Integrando entre $-b$ y $c$,


$E_x=k\lambda\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

$E_y=\dfrac{k\lambda}{a}\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\right)$

Saludos cordiales,
JCB.

[jack_f]

Hola!

Gracias por tu respuesta, pero esto no es lo que busco. Ya sé que se puede resolver de esa manera, lo que quiero es saber dónde estoy cometiendo el error al intentar resolverlo del modo que menciono, no transformando el seno y el coseno.

Por otro lado, sí me llama la atención que, pese a que el ángulo que usas no es el mismo que el que pretendo usar yo, expresas el coseno del ángulo como $\frac{-x}{r}$ en vez de como $\frac{x}{r}$. ¿A qué se debe ese cambio de signo?

Muchas gracias.

[JCB]

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Por otro lado, sí me llama la atención que, pese a que el ángulo que usas no es el mismo que el que pretendo usar yo, expresas el coseno del ángulo como $\frac{-x}{r}$ en vez de como $\frac{x}{r}$. ¿A qué se debe ese cambio de signo?
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Hola a tod@s.

Como la variable es $x$, para que $dE_x$ tenga el sentido positivo en el punto $P$, $\cos\theta$ debe ser $\dfrac{-x}{r}$, ya que $x$ es negativa.

Por otra parte, creo que las expresiones que has indicado en el enunciado no son correctas, porque el campo eléctrico de una carga elemental es $dE=\dfrac{kdq}{r^2}$. Fíjate que para cualquier $dq$ considerado, $r$ (la distancia entre $dq$ y el punto $P$) es diferente.

Saludos cordiales,
JCB.