Análisis de circuitos

[garcialopezmanuel753]

Este problema de la serie de circuitos de corriente continua no logro mediante el desarrollo llegar al resultado. El ejercicio dice así:

Si los puntos a y b de la figura del están conectados por un alambre de resistencia r, demuestre que la corriente en el alambre es:
i = ε(Rₛ - Rₓ)/[(R + 2r)(Rₛ + Rₓ) + 2RₛRₓ],
donde ε es la fem de la batería. Suponga que R₁ y R₂ son iguales (R₁ = R₂ = R) y que R₀ es igual a cero.

Es evidente que esto es un puente de Wheatstone. Y según leí en un libro, lo mejor para resolverlo es simplificar el circuito aplicando el Teorema de Thevenin. (Recordando que un alambre une los nodos a y b). Pero aún así no llego a la ecuación a demostrar.
Pues bueno, si a alguno se le ocurre cómo resolverlo me sería de gran ayuda, para comprender dónde estoy fallando. Desde ya, gracias.

[JCB]

Hola a tod@s.



A ver si alguien con mayor conocimiento sobre el asunto, aporta un método más directo y menos laborioso que la aplicación de las leyes de Kirchhoff.

Nudo $C$:

$i_0-i_1-i_2=0$

Nudo $a$:

$i_1-i-i_3=0$

Nudo $D$:

$i_3-i_4-i_0=0$

Malla $CabC$:

$i_1R+ir-i_2R_s=0$

Malla $aDba$:

$i_3R+i_4R_x-ir=0$. Expresión corregida. La inicial (errónea), indicaba: $i_3R+i_4R_x-iR=0$.

Malla $CaDC$:

$i_1R+i_3R=\varepsilon$

Sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas $(i_0, i_1, i_2, i_3, i_4, i)$. Resolviéndolo (por ejemplo, mediante la regla de Cramer. Lo he comprobado con una calculadora online), llegas a que

$i=\dfrac{(R_s-R_x)\varepsilon}{R_sR+R_xR+2R_sR_x+2R_sr+2R_xr}$, que coincide con la solución. Expresión corregida. La inicial (errónea), indicaba:

$i=\dfrac{(R_s-R_x)\varepsilon}{R_s+R_x+2R_sR_x+2R_sr+2R_xr}$

Saludos cordiales,
JCB.

[garcialopezmanuel753]

Muchas gracias JCB. Es cierto que es laborioso pero se llega al resultado. El otro modo era usar el teorema de Thevenin, pero hay que tener cuidado cuando debemos omitir temporalmente la rama que une los nodos a y b. Y recién después de simplificar el circuito volvérsele a agregar. (y por ese lado no llegué al resultado correcto).

[JCB]

De todas maneras, aún no doy por descartado que algún miembro inveterado y con sólidos conocimientos del tema, acabe aportando la información necesaria sobre el método adecuado para abordar este ejercicio de manera más eficiente.

[Alriga]

...según leí en un libro, lo mejor para resolverlo es simplificar el circuito aplicando el Teorema de Thevenin...

Apliquemos el Teorema de Thévenin. Dice el enunciado que $\boxed{R_0=0}$ lo cual simplifica mucho los cálculos. Con el alambre $r$ desconectado aplicamos "divisor de tensión" a las dos ramas, y teniendo en cuenta que, según el enunciado se cumple que $\boxed{R_1=R_2=R}$

$U_a=E\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=\dfrac E 2$

$U_b=E\dfrac{R_x}{R_s+R_x}$

La tensión de vacío de Thevenin entre los puntos a y b:

$U_{th}=U_a-U_b$

$$U_{th}=E \left ( \dfrac 1 2 - \dfrac{R_x}{R_s+R_x} \right )$$

La resistencia de Thevenin se obtiene mirando la resistencia que hay entre los puntos a y b con $r$ desconectado y $E$ cortocircuitado:

$R_{th}=(R_1 || R_2)+(R_s || R_x)$

$$R_{th}=\dfrac R 2+\dfrac{R_s R_x}{R_s+R_x}$$

Cuando conectemos el alambre $r$ la corriente que pasará por él será:

$$I_r=\dfrac{U_{th}}{R_{th}+r}$$

Solo queda sustituir (1) y (2) en (3) y operar, si tienes alguna duda, pregunta.

$i=\dfrac{(R_s-R_x)\varepsilon}{R_s+R_x+2R_sR_x+2R_sr+2R_xr}$

Creo que se han despistado un par de "erres" en el denominador, creo que querías decir:

$i=\dfrac{(R_s-R_x)\varepsilon}{R R_s+R R_x+2R_sR_x+2R_sr+2R_xr}$

Saludos.

[JCB]

Gracias, Alriga, por tu aportación (me ayudará a redescubrir el teorema de Thévenin). Y también por señalarme los gazapos.