1r ciclo Duda método matricial

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:



Hallar las intensidades que pasan por cada rama del circuito. e1 = 2cos(1000t) V e2= 2sin(1000t) V

Yo lo empecé así:

E1 = 2/_ 0º E2 = 2 /_ -90º


ZR = 2 + j0 ohm

Impedancias

ZL1 = j .10^3 . 6 . 10^⁻3 = 0 + j.6 ohm

ZL2 = j . 10^3 .1. 10^-3 = 0 + j. 1 ohm

ZL3 = j . 10^3 . 2 . 10^⁻3 = 0 + j.2 ohm

----------------------------------------------------------

ZC1 = -j .(1/10^3 . 0,25 . 10^-3) = 0 - j . 4 ohm

ZC2 = -j . (1/10^3 . 1,25 . 10^-3) = 0 - j . 0,8 ohm


Planteé la matriz, pero tenía dudas con las impedancias: ( 2 (I1 ( 2/_ 0º
2 ) I2) = 2 /_ -90º ) he dejado espacios porque dudé un poco, no sé si va en la malla 1 2+j.6 ohm y en la de la segunda malla no sé qué tendría que poner

¿se puede simplificar la bobina de 1 mH con el condensador de 1,25 mF en la segunda malla?

Gracias

[danielandresbru]

Re: Duda método matricial

Si puedes simplificar la bobina con el condensador, así te quedarían solo dos mallas muy sencillas,
Y luego para hallar las corrientes que pasan por la bobina de 1 mH y el condensador de 1.25 mF, puedes usar el divisor de corriente, y resulta que la corriente que pasa por la bobina de 1 mH coincide con la corriente de malla de esa pequeña mallita

[CARLIN]

Re: Duda método matricial

Ok, podría hacer eso, de momento estoy trabado con la matriz, ¿cómo se haría la simplificación?, pongo la matriz como la tenía que poner:

$\begin{pmatrix}<br /> & 2 \\<br /> 2 & <br /> \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}<br /> I1 \\<br /> I2<br /> \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}<br /> 2 / 0 \\<br /> 2 /_-90<br /> \end{pmatrix}$

Bueno, y la duda que estoy intentando resolver: en los espacios que dejé en la matriz $\begin{pmatrix}<br /> & 2 \\<br /> 2 & <br /> \end{pmatrix}$ no sé cómo tendría que ponerse la impedancia.


Gracias.

[danielandresbru]

Re: Duda método matricial

En el primer espacio va la impedancia total por la que circula la corriente I1, que sería 2 +j(6- 1/0.25)= 2 +2j

Y en el segundo espacio sería esa Zdel paralelo +2+2j





Por cierto, te recomiendo usar el comando \angle

[Breogan]

Re: Duda método matricial

Hola:

Para hacerlo directamente en forma matricial no hace falta reducirlo. La matriz va ser dimensión 3 y simétrica y para resolverlo me tome la libertad de redibujar el circuito:

Primero calculas las impedancias de cada malla como si las demas no existieran, estas corresponderán a los valores de la diagonal principal:

$\dst Z_{11}=R+j \omega L_1-j \frac 1 {\omega C_1}$

$\dst Z_{22}=R+j \omega L_3 - j \frac 1 {\omega C_2}$

$\dst Z_{33}=j \omega L_2 - j \frac 1 {\omega C_2}$

Despues calculas las impedancias que comparten las distintas mallas entre si, y por el sentido de circulación de las corrientes van con el signo cambiado. Por ejemplo mallas 1 y 2:

$\dst Z_{12}=Z_{21}=- R$

Mallas 1 y 3:

$\dst Z_{13}=Z_{31}=0$

Mallas 2 y 3:

$\dst Z_{23}=Z_{32}=j \frac 1 {\omega C_2}$

y por ultimo la ecuación matricial queda:

$\begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{23} \\ Z_{31} & Z_{32} & Z_{33} \end{pmatrix}$$\dst \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Si reemplazas los valores numéricos dados ya quedan construidas las matrices.

s.e.u.o.

Suerte !

[Alriga]

Re: Duda método matricial

Una nota adicional a la resolución del ejercicio por parte de Breogan que es impecable: tiene la ventaja de que es muy sistemático, con poco margen para el error en el planteo, pero al haber 3 mallas, esta resolución conduce a un sistema de 6 ecuaciones reales con 6 incógnitas reales.

Si inicialmente se hace la asociación en paralelo de (L2 || C2) entonces quedan solo 2 mallas, lo que conduce a un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que a priori debería ser más sencillo de resolver. (Después, una vez obtenida I2, si se desea es muy fácil calcular las corrientes individuales que pasan por L2 y por C2)

e1 = 2cos(1000t) V e2= 2sin(1000t) V

Yo lo empecé así:

E1 = 2/_ 0º E2 = 2 /_ -90º

Recuerda que se suele trabajar con valores eficaces, por lo tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El argumento se escribe con el comando \angle (y no con esa chapuza de /_ ) Y los grados en LaTeX se escriben así \º (Haz doble click en las fórmulas (1) y (2) que acabo de poner y lo verás)

(Si se quiere, se puede trabajar con valores de tensiones de pico, pero entonces hay que recordar que las corrientes obtenidas también estarán en valores de pico)

Saludos.

[CARLIN]

Re: Duda método matricial

Hola de nuevo, solo quería confirmar un resultado, ¿I1 les dio $\frac{1}{\sqrt{2}}j + \frac{2}{\sqrt{2}}$?

[Alriga]

Re: Duda método matricial

Hola de nuevo, solo quería confirmar un resultado, ¿I1 les dio $\frac{1}{\sqrt{2}}j + \frac{2}{\sqrt{2}}$?

No, no me da eso:

$\omega=1000 \ rad/s$

Si hacemos Zp como la asociación paralelo de 1 mH || 1.25 mF se obtiene:


$\vec Z_p=-j 4$



La ecuación matricial con 2 mallas queda entonces:


$\begin{pmatrix} 2 + j 2 & 2 \\ 2 & 2 - j 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec I_1 \\ \vec I_2 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} \dfrac 2 {\sqrt 2} \\ - j\dfrac 2 {\sqrt 2} \end{pmatrix}$


Y si no me equivoco al resolver el sistema, a mí me sale:

$\vec I_1=\dfrac 1 {\sqrt 2}$

$\vec I_2=-j \dfrac 1 {\sqrt 2}$

Saludos.

[CARLIN]

Re: Duda método matricial

Hola, yo multipliqué el vector columna de la corriente por la columna 1 y 2 de la matriz 2 x 2 luego igualé la primera columna de la matriz 2x2 a $2/\sqrt{2}$ y la segunda columna la igualé $-j . 2/\sqrt{2}$

Me quedó (2+j2)I1 +2I2 = $2/\sqrt{2}$ y 2I1 + (2-j2)I2 = $-j . 2/\sqrt{2}$ Lo que pasa es que no sé qué he hecho mal que me da diferente a tí.


Gracias

[Alriga]

Re: Duda método matricial

Me quedó (2+j2)I1 +2I2 = $2/\sqrt{2}$ y 2I1 + (2-j2)I2 = $-j . 2/\sqrt{2}$ Lo que pasa es que no sé qué he hecho mal que me da diferente a tí.

Hasta aquí no has hecho nada mal, continúa.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Duda método matricial

practicando un 4x4 complejo llegue a

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que no es lo mismo,

$(2+2j)(a+bj)+2(c+dj)=\dfrac{2}{\sqrt 2}$

$(2)(a+bj)+(2-2j)(c+dj)=-\dfrac{2}{\sqrt 2}j$

con lo que armo

$2a-2b+2c+0=\dfrac{2}{\sqrt 2}$

$2a+2b+0+2d=0$

$2a+0+2c+2d=0$

$0+2b-2c+2d=-\dfrac{2}{\sqrt 2}$

$\begin{pmatrix}<br /> 2& -2 &2&0\\<br /> 2& 2&0&2\\<br /> 2&0&2&2\\<br /> 0&2&-2&2<br /> \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}<br /> a \\<br /> b \\<br /> c \\<br /> d <br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> \frac{2}{\sqrt 2}\\<br /> 0\\<br /> 0\\<br /> -\frac{2}{\sqrt 2}<br /> \end{pmatrix}$

entonces

$a=\dfrac{1}{\sqrt 2}$

$b=0$

$c=0$

$d=-\dfrac{1}{\sqrt 2}$

$\vec I_1=a+bj=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$

$\vec I_2=c+dj=-\dfrac{1}{\sqrt 2}j=-\dfrac{\sqrt 2}{2}\vec j$

Saludos

[CARLIN]

Re: Duda método matricial

Gracias Richard, Alriga, seguí intentándolo, despejé I1 de la segunda ecuación $\frac{-j2 - (2.\sqrt{2} -\sqrt{2} . 2).I2}{2\sqrt{2} }$ y luego sustituí en I1 en la primera ecuación, y me quedó $(2+j2)$ . $\frac{-j2 - (2.\sqrt{2} -\sqrt{2} . 2).I2}{2\sqrt{2} }$

a partir de ahí despejé I2 pero no llego a la misma solución,voy a ver si lo puedo hacer de otra manera

Saludos

[Alriga]

Re: Duda método matricial

... despejé I1 de la segunda ecuación $\frac{-j2 - (2.\sqrt{2} -\sqrt{2} . 2).I2}{2\sqrt{2} }$ ...

Pues despejas muy mal. Deberías practicar mucho más. La segunda ecuación es:

$2 \vec I_1 + (2-j 2) \vec I_2=\dfrac{-j2}{\sqrt 2}$

Si despejas bien sale:

$\vec I_1=\dfrac{-j}{\sqrt 2} - (1-j) \vec I_2$

Lo dicho, continua y practica mucho más

Saludos.

[Breogan]

Re: Duda método matricial

Hola:

Una nota adicional a la resolución del ejercicio por parte de Breogan que es impecable: tiene la ventaja de que es muy sistemático, con poco margen para el error en el planteo, pero al haber 3 mallas, esta resolución conduce a un sistema de 6 ecuaciones reales con 6 incógnitas reales.

Si inicialmente se hace la asociación en paralelo de (L2 || C2) entonces quedan solo 2 mallas, lo que conduce a un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que a priori debería ser más sencillo de resolver. (Después, una vez obtenida I2, si se desea es muy fácil calcular las corrientes individuales que pasan por L2 y por C2

Aunque esto es en parte es cierto, todo dependerá de que incógnitas te piden calcular. P.e. si solo te piden la corriente en una de las fuentes te conviene encontrar la impedancia equivalente, pero si te piden las tres corrientes (como en este caso) el hacer la asociación y luego deshacerla para calcular I3 solo agrega pasos que pueden inducir a error. Pero esto es solo una apreciación personal, ambos métodos son correctos, y elegir una u otra es una cuestión personal.

Recuerda que se suele trabajar con valores eficaces, por lo tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como norma en electrotecnia los módulos de los fasores son los valores eficaces, y cuando se tratan de valores pico se debe aclarar en el enunciado. En este caso los valores eficaces de las tensiones de alimentación es 2 V.
Esta es una cuestión que tiene que quedar bien clara en la interna del curso.
Igual como dice Alriga si tomas los módulos de los fasores de alimentación como valores eficaces obtienes corrientes eficaces, y si los consideras valores pico obtenes valores pico de corriente.


Procedo a hacer una parte de la solución general:

$\begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{23} \\ Z_{31} & Z_{32} & Z_{33} \end{pmatrix}$$\dst \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Las impedancias y tensiones me dan:

$\dst Z_{11} = 2 + j 2 \quad [\Omega]$

$\dst Z_{22} = 2 + j 1,2$

$\dst Z_{33} = j 0,2$

$\dst Z_{12} = Z_{21} = - 2$

$\dst Z_{23} = Z_{32} = j 0,8$

$\dst E_1 = 2 \quad [V]$

$\dst E_2 = - j 2$

Reemplazando:

$\begin{pmatrix} 2 + j 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 + j 1,2 & j 0,8 \\ 0 & j 0,8 & j 0,2 \end{pmatrix}$$\dst \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ - j 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Escribimos la matriz ampliada y aplicamos Gauss:

$\dst \begin{aligned} & f_1 \\ & f_2 \\ & f_3 \end{aligned}\begin{pmatrix} 2 + j 2 & -2 & 0 & | & 2 \\ -2 & 2 + j 1,2 & j 0,8 & | & -j 2 \\ 0 & j 0,8 & j 0,2 & | & 0 \end{pmatrix}$$\dst \begin{aligned} & \xrightarrow{f_1^{(1)}=f_1 \frac 1 {2 + j 2}} \\ & \xrightarrow{f_2^{(1)}=f_2 + f_1 \frac 2 {2 +j2}} \\ & \xrightarrow{f_3^{(1)}=f_3 \quad \quad .}\end{aligned}$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\dst \begin{aligned} & \xrightarrow{f_1^{(2)}=f_1^{(1)}} \\ & \xrightarrow{f_2^{(2)}=f_2^{(1)} \frac 1 {1 + j 2,2}} \\ & \xrightarrow{f_3^{(2)}=f_3^{(1)} - f_2^{(1)} \frac {j 0,8} {1 + j 2,2} }\end{aligned}$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como lo estoy haciendo directamente en el editor de LaTex me es bastante engorroso proseguir en el desarrollo de la solución, y posiblemente haya errores a revisar en lo ya echo. Lo adelante todo lo que pude y acá dejo. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte !

PD: aclarar que al terminar de aplicar Gauss te va a quedar un nuevo sistema con las mismas incognitas (I1, I2, e I3), pero la matriz sera triangular superior con la matriz de términos independientes distinta a la original.
P:e.:

$\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & 0 \\ 0 & 1 & a_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$\dst \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

Loa términos a_ij son adimensionales y los términos b_i tienen dimensiones de corriente.

Suerte !

[Alriga]

Re: Duda método matricial

... cuando se tratan de valores pico se debe aclarar en el enunciado. En este caso los valores eficaces de las tensiones de alimentación es 2 V ...

Pues para mi no . El enunciado, según escribe CARLIN dice:

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Hallar las intensidades que pasan por cada rama del circuito. e1 = 2cos(1000t) V e2= 2sin(1000t) V

Yo lo empecé así: ......

Por lo tanto yo entiendo que 2 V es claramente el valor de pico y no el valor eficaz. Y por lo tanto los fasores en valores eficaces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En el resto de lo que explicas, estoy de acuerdo.

Saludos.