1r ciclo Potencial Electrico

[JONATHANL]

La esfera (r < R) y la corona ( 2R < r < 3R ) , sombreadas en oscuro ene le dibujo, son conductoras. La zona ( R < r < 2R ) esta ocupada por un material no conductor de densidad constante y desconocida. Suponga que en la zona ( R < r < 2R) el campo electrico es:

E(r)=( 4R²/r² + r/ R) E1 si R< r < 2R donde E1 es una constante conocida.

Halle el potencial V(r) en la region ( R<r<2R ) Tomando nivel cero sobre el conductor de radio R.



Se sabe que potencial v(r) = E.r donde E= campo electrico y r= distancia, entonces las distancias que tome con respecto a la figura fueron :

V= E.r donde r < R-- ( 4R²/r + r²/R)E1

V=E.r donde r=R --- ( 4R²/r² + r )E1

V= E.r donde r=2R--- ( 8R²/r² + 2r )E1

V=E.r donde r= 3/2R---( 6R³/r² + 3r/2 )E1 y ENTONCES LO RESTO PERO ME DA UN RESULTADO QUE NO ES LA QUE ES ESTOY BUSCANDO..

EL Resultado es V(r)= ( 4R²/r - r² /2R - 7R/2 )E1

Sera que tome mal las distancias? x--x

[skynet]

Re: Potencial Electrico

no restes, no te dan el potencial en cada punto y no te piden la diferencia de potencial entre dos puntos

te dan el campo electrico y te piden el potencial en cada punto r tal que R<r<2R

tienes que hacer la integral de -( 4R²/r² + r/ R) E1 dr con limites de integración desde R hasta r

[Al2000]

Re: Potencial Electrico

OK, camarada, vamos por partes...

Empecemos por aclarar que esa relación que pones entre el potencial y el campo no es cierta en forma general. Sólo para un campo que varíe con el inverso del cuadrado de la distancia (como en el caso de la carga puntual) se cumple esa relación. En forma mas general la cuestión es mas complicada. La diferencia de potencial entre dos puntos "A" y "B" del espacio se define como la integral:

$$V_\text {B} - V_\text {A} = - \int_\text {A}^\text {B}\!\! \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell$$

Cuando la integral de línea (1) se aplica al cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos de un espacio en donde existe un campo eléctrico radial que sólo depende de la distancia $r$ a nuestro origen de coordenadas, se convierte en la integral mas simple

$$V_\text {B} - V_\text {A} = - \int_{r_\text {A}}^{r_\text {B}}\!\! E_{(r)} \, dr$$

Por ejemplo, en el caso de una carga puntual ubicada en el origen de nuestro sistema de coordenadas, el campo eléctrico es radial y tiene módulo

$$E_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2}$$

de manera que al usar (2) con este campo, se obtiene para la diferencia de potencial que

$$V_\text {B} - V_\text {A} = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac 1 {r_\text {B}} - \frac 1 {r_\text {A}}\right)$$

Pero es mas cómodo definir una función que tenga un valor puntual, de manera que convenimos en usar un punto como referencia y medir respecto de ese punto. En el caso de la carga puntual (y otros campos iguales), resulta cómodo usar como punto de referencia un punto que se encuentre infinitamente alejado del origen y considerar arbitrariamente que el potencial en ese punto vale cero. En la expresión anterior lo que hacemos es considerar que $r_\text {A} \to \infty$ y que $V_\text {A} = 0$. Quitando la ahora inútil "B", queda para la carga puntual que

$$V_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q r$$

Comparando (3) y (5), vemos que para la carga puntual $V = r E$, que es la fórmula que usaste incorrectamente en tu intento de solución.

Entonces, ¿cómo debes hacer para resolver tu problema? Pues bien, parte de la ecuación (2) y di que el punto A es un punto sobre el conductor de radio R ($r_\text {A} = R$), el punto B es un punto genérico a la distancia $R < r < 2R$ y resuelve la integral:

$$V_{(r)} = - \int_{R}^{r}\!\! \left(4 \frac {R^2}{r^2} + \frac r R \right) E_1 \, dr$$

Bueno, el resto es tuyo. Saludos,

$\mathcal A \ell$

- - - Actualizado - - -

Nos cruzamos, skynet, un saludo!

[skynet]

Re: Potencial Electrico

un saludo igualmente amigo

[JONATHANL]

Re: Potencial Electrico

Genial ya me dio Gracias , ahora tengo otra duda, vean también me mandan a calcular las densidades superficiales de carga de los conductores en las dos superficies esfericas r= R y r= 2R en donde simplemente evalué esas condiciones en el campo electrico y me dan los siguientes resultados:


$\sigma1=5\varepsilon0$E₁$\hat{}$ y $\sigma2=3\varepsilon0$E₁$\hat{}$ pero este ultimo es negativo porque?? no me queda claro esa teoria.


otra cosa , tambien me mandan a calcular las densidades volumetricas de carga, D, del material no conductor y se que la formula $\rho=\frac{Q}{V}, donde$ donde V= $\frac{4}{3}$$\pi$R³ que corresponde al volumen de una esfera y la Q la despejo a partir de la formula de campo electrico E₁ tomando como referencia la densidad de carga superficial de carga, pero me da un resultado que no corresponde al del ejercicio... sera que procedí mal? o que haría porque es un peo es vaina :/ me dio hasta dolor de cabeza... por favor.

[skynet]

Re: Potencial Electrico

supongo que has usado el teorema de gauss para calcular las densidades superficiales de carga.

para la esfera interior , por ser conductora, toda la carga estará en la superficie.

para la superficie en 2R:

como el campo en 2R es positivo, el flujo a través de la superficie gausiana de una esfera de 2R será positivo, lo que significa que la carga neta en su interior también será positiva, esta carga es la que hay en la esfera interior mas la que hay en el material aislante intermedio

si ahora tomas como superficie gausiana una esfera que está en el interior del casquete esferico, como es conductor, el campo en su interior será cero y el flujo a través de la superficie gausiana será cero y para ello la carga neta en su interor tiene que ser cero, por lo que la carga en la superficie interna del casquete esferico tiene que ser negativa para que el resultado total sea cero.

para calcular la densidad volumentrica de carga del material no conductor:

1 - en principio, no debe de ser constante, debe de depender del radio.
2 - para calcularlo yo en principio usaria el teorma de gauss: ahora no puedo continuar....después termino

[JONATHANL]

Re: Potencial Electrico

Por favor , Aun necesito saber como calcular esa densidad o al menos dejar planteAdo algo para poder resolver .. Cuando pueda , Disculpa la molestia

[Al2000]

Re: Potencial Electrico

Puedes usar el teorema de Gauss en forma diferencial:

$$\nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol E = \frac \rho {\epsilon_0}$$

Para tu caso, donde tienes un campo que varía únicamente con $r$, la expresión anterior se reduce a

$$\frac 1 {r^2}\frac {d(r^2 E)} {dr} = \frac \rho \epsilon_0$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[skynet]

Re: Potencial Electrico

estaba pensando si había forma de calcularlo usando la forma integral de la ley de gauss, no lo veo claro....pero si habéis llegado a la forma diferencial de las ecuaciones de maxwell, debes de hacerlo como te indica Al

[JONATHANL]

Re: Potencial Electrico

supongo que d=densidad
E=campo
r=distancia del campo
p=?
dr=?

[Weip]

Re: Potencial Electrico

supongo que d=densidad
E=campo
r=distancia del campo
p=?
dr=?

Hola. Estás malinterpretando los símbolos de la fórmula que ha puesto Al. $\rho$ es la densidad. $\frac {d(r^2 E)} {dr}$ es todo un bloque, las $d$ y $dr$ forman parte de ese bloque, que significa "derivada de $r^2E$ respecto de $r$". Es como si pusieras $(r^2E)'$, aunque no es la notación más habitual en este contexto, tenlo en cuenta. Espero haberte ayudado.