2o ciclo Circuito corriente alterna

[kote]

Sea $V_{AB}=V_{B}-V_{A}$, en este circuito. Demostrar que $|V_{AB}|^2=V_{0}^2$ para cualquier $\omega$. Hállese la frecuencia angular para la cual $V_{AB}$ está desfasada 90° con $V_{0}$.

Hola, me podrían dar un hint para poder seguir?, porfavor c:
He hecho lo siguiente:

En el nodo se tiene: $I_1=I_2+I_3$, luego recorriendo la malla derecha $V_A-I_3 Z_C+I_2 Z_R=V_B \Rightarrow V_B-V_A=V_{AB}=I_2 Z_R-I_3 Z_C$, donde $Z_R=R$ y $Z_C=\dfrac{-i}{\omega C}$ (tomando $i$ como el complejo) $\Rightarrow V_{AB}=I_2 R+\dfrac{I_3}{\omega C}i \Rightarrow |V_{AB}|^2=I_2^2 R^2+\dfrac{I_3^2}{\omega^2 C^2}$

Y aquí he quedado :'(

Saludos..

[Al2000]

Re: Circuito corriente alterna

No pierdas de vista que ambas ramas tienen la misma impedancia y están en paralelo, de manera que $I_2 = I_3 = \frac 1 2 I_1 = V_0/Z_{RC}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Circuito corriente alterna

Hola kote, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

a)

$\bold I_3=\dfrac{V_0}{R-\dfrac{j}{\omega C}}$

$\bold I_2=\dfrac{V_0}{R-\dfrac{j}{\omega C}}$

$\bold I_2=\bold I_3$

$\bold V_A=V_0-\left (\dfrac{-j}{\omega C}\right ) \ \bold I_3$

$\bold V_B=V_0-R \ \bold I_2$

$\bold V_{AB}=\bold V_A-\bold V_B=\left (\dfrac{j}{\omega C}+R \right ) \dfrac{V_0}{R-\dfrac{j}{\omega C}}$

$\bold V_{AB}=V_0 \cdot \dfrac{R+\dfrac{j}{\omega C}}{R-\dfrac{j}{\omega C}}$

$|\bold V_{AB}|=V_0 \cdot \dfrac{|R+\dfrac{j}{\omega C}|}{|R-\dfrac{j}{\omega C}|}=V_0$

$|\bold V_{AB}|^2=V_0^2$


b)

$\bold V_{AB}=V_0 \cdot \dfrac{R+\dfrac{j}{\omega C}}{R-\dfrac{j}{\omega C}}$

$\bold V_{AB}=V_0 \cdot \dfrac{\left (R+\dfrac{j}{\omega C}\right )^2}{R^2+\dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$

Operando para separar la parte real de la imaginaria se obtiene:

$\bold V_{AB}=V_0 \cdot \left ( \dfrac{R^2C^2\omega^2-1}{R^2C^2\omega^2+1}+j \ \dfrac{2RC\omega}{R^2C^2\omega^2+1} \right )$

Para que $\bold V_{AB}$ esté desfasada 90º de $V_0$ su parte real ha de ser cero, por lo tanto:

$\mathbb{R}e \ (\bold V_{AB})=0 \ \Rightarrow \ R^2C^2\omega^2-1=0$

$\omega=\dfrac{1}{RC}$

Saludos.