Divulgación Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

[inakigarber]

Buenas tardes;
En relación con lo planteado en este hilo se me ha ocurrido el siguiente problema. Ha tenido relación con esto una noche de insomnio y algunos mosquitos que han amargado mi sueño.
Supongamos un dispositivo tal como este;

Compuesto por una carga positiva que se aleja del origen donde estamos nosotros a velocidad constante;
El campo para un instante dado vendrá dado por;
$E=\frac{kq}{r^2}$
Donde r es la distancia en ese instante respecto al origen;
Si consideramos la velocidad
$V=\frac{dr}{dt}$
Luego $dr=V dt$ y $r=Vt$
de acuerdo con la ecuación de Ampere Maxwell;
$\vec \nabla \times \vec B=\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$
Calculando las derivadas parciales me sale;
$\frac{\partial E}{\partial t}=-\mu_0 \varepsilon_0\frac{k q}{V^2 t}$, por lo que obtengo;
$\vec \nabla \times \vec B=\mu_0 \varepsilon_0\frac{k q}{V^2 t}$
Para que el campo eléctrico se desplace en la dirección i, el rotacional debería rotar sobre el eje j y el campo desplazarse sobre el eje k ¿Sería esto correcto?
Saludos y gracias;

[skynet]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Para que el campo eléctrico se desplace en la dirección i, el rotacional debería rotar sobre el eje j y el campo desplazarse sobre el eje k ¿Sería esto correcto?
Saludos y gracias;

no, se trata de una carga en movimiento, no de una onda electromagnetica ... el rotacional rota alrededor de i y B se desplaza junto con la carga.

[arivasm]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

En lo que sigue supondré que $V<<c$ para no tener que meter aspectos relativistas.

Primero: hay que tener cuidado con la notación, si llamas $r$ a la distancia entre el punto y la carga (según parece deducirse de la ecuación que escribes para el campo eléctrico) entonces si las coordenadas de la carga son $(Vt,0,0)$ y las coordenadas del punto en el que calculas el campo eléctrico son $(x,y,z)$ entonces $\dst\vec E=k\frac{q}{r^3}\vec r=k\frac{q}{[(x-Vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}}(x-Vt,y,z)$. En otras palabras, en cada punto del espacio tiene una dirección radial respecto de la carga. Sólo tiene sentido X en los puntos de ese eje.

Si estás pensando en el campo magnético en el origen de coordenadas, o en cualquier otro punto, lo más sencillo es que hagas uso de la ley de Biot y Savart: $\dst\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}q\frac{\vec v\times \vec r}{r^3}$ donde, como antes, $\vec r=(x-Vt,y,z)$.

En particular, en el ejemplo que pones, en los puntos del eje X el campo magnético es constantemente nulo.

[Alriga]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Iñaki, este hilo te puede resultar muy interesante para ver como se calcula el campo eléctrico y el campo magnético en un caso relativamente sencillo y visualizarlo, para ello arivasm te ha dado muy bien las instrucciones en su post. El campo magnético $\vec{\boldsymbol{B}}$ creado por la carga en movimiento rectilíneo uniforme con velocidad $\vec{\boldsymbol{v}}$ es acimutal:



Pero si tu intención final al crear el hilo era la de estudiar posteriormente una onda electromagnética asociada al ejemplo, ello no va a ser posible: la carga se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, por lo tanto no genera ninguna onda electromagnética, ya que solo las cargas aceleradas generan ondas electromagnéticas, (bien tengan solo aceleración tangencial, solo aceleración normal, o ambas).

Saludos.

[inakigarber]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

...Pero si tu intención final al crear el hilo era la de estudiar posteriormente una onda electromagnética asociada al ejemplo, ello no va a ser posible: la carga se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, por lo tanto no genera ninguna onda electromagnética, ya que solo las cargas aceleradas generan ondas electromagnéticas, (bien tengan solo aceleración tangencial, solo aceleración normal, o ambas).
Saludos.

Creo que la clave, tanto del comentario de Arisvam, como el tuyo está en el párrafo que acabo de apuntar. Mi idea era era de que una carga en movimiento uniforme genera un campo eléctrico en movimiento también uniforme (variable en el tiempo respecto a un observador situado en el origen -por ejemplo-) y por tanto un campo magnético también uniforme.
En tu post mencionas un enlace a un hilo, pero no puedo abrirlo (tal vez porque no estoy usando la conexión a internet que uso habitualmente -en unos dias no podré hacerlo).
¿Podrías facilitarme ese enlace?
P.D.
Si fuera como yo he pensado se violaría el principio de relatividad, por tanto estoy equivocado, aunque no se aún como.

[Alriga]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Iñaki, sobre la generación de ondas electromagnéticas por cargas aceleradas, mira Radiation from an Accelerated Charge y también Electromagnetic field of an accelerated charge

... En tu post mencionas un enlace a un hilo, pero no puedo abrirlo ...

No, en mi post #4 no hay ningún enlace, en él me estoy refiriendo al post #3 de arivasm.

Saludos.

[arivasm]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

No sé si se lo recomendé a Iñaki con anterioridad: https://phet.colorado.edu/sims/radia...charge_es.html. No es algo esencial para lo que él busca, pero sirve para tener una "conciencia" básica del tema.

Se trata de una simulación en la que la velocidad de la luz sería muy pequeña, como para poder ver el avance de la onda electromagnética. La representación son las líneas de campo eléctrico. Es inmediato apreciar que si el movimiento es rectilíneo uniforme no hay onda electromagnética y que cuando hay aceleración sí.

En mi post anterior dije que omitía los aspectos relativistas. Es lo mismo que decir, "simplifico las ecuaciones de Maxwell", pues son ecuaciones relativistas (son el origen de la Relatividad!). Digamos que si las cargas están en reposo estaremos en una situación electrostática y nos bastará con la ley de Coulomb (que en términos de ecuaciones de Maxwell es lo mismo que decir la ley de Gauss eléctrica). La siguiente simplificación sería corrientes continuas (es decir, cargas en movimiento uniforme), entonces nos basta con añadir la ley de Biot y Savart (lo que equivale a la ley de Gauss magnética y el primer sumando de la ley de Ampère-Maxwell). Si tenemos cargas aceleradas entonces hacen falta tomar en consideración los potenciales retardados (equivalentes a la ley de Faraday y la ley de Ampère-Maxwell completa, es decir, las cuatro leyes).

Las ondas EM en el vacío no dejan de ser una simplificación en el esquema: suprímanse en las ecuaciones las densidades de carga y las corrientes. La siguiente simplificación es considerar la descomposición de Fourier de la onda EM y fijarse en un único armónico, sobre todo si, simplificando aún más, nos centramos en un caso unidimensional (o mejor dicho, de onda plana). Es de ese modo como se llega a la imagen típica de la onda sinusoidal transversal con E y B en fase, bla, bla, bla.

Comento todo esto porque es habitual que los alumnos pierdan esa perspectiva y se queden con el principio (Coulomb, Biot y Savart) y con el final (onda EM plana monocromática). Añádase la ley de Faraday-Lenz y muchos alumnos acaban pensando que con esos pocos ingredientes tienen dominado prácticamente todo el electromagnetismo. Por cierto, por este mismo motivo muchos estudiantes de Física nos llevamos un palo al ver que las asignaturas de electromagnetismo no son como esperábamos (sobre todo de dificultad).

Felicito, pues, a Iñaki por su interés por aclarar ideas sobre estas cuestiones, que además seguro que es algo que compartirá mucha otra gente que lea el hilo.

[inakigarber]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

..Felicito, pues, a Iñaki por su interés por aclarar ideas sobre estas cuestiones, que además seguro que es algo que compartirá mucha otra gente que lea el hilo.

Son nuestras preguntas, pero sobre todo la profundidad de vuestras respuestas las que hacen grande un foro como este.
Me he bajado los enlaces a que aludís y me tomare un tiempo para leerlos.
Saludos y gracias.

[inakigarber]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Continuando con el tema en cuestión. Tal vez este equivocado, pero..
Creo que la cuestión fundamental, es que todas las ondas son producidas por "procesos acelerados",es decir procesos en que $\frac{\partial^2\omega }{\partial t^2}\neq 0$. Tanto si se producen ondas longitudinales (sonido, la vibración de un muelle, etc) como ondas transversales (la sacudida de una cuerda, las olas del mar, etc), en el caso de las ondas electromagnéticas también. Visto desde esta manera la afirmación de que cargas eléctricas aceleradas producen ondas electromagnéticas cobra un especial significado. ¿Es esto cierto?

Aun me queda mucho por aprender y practicar para dominar el operador $\nabla$ que puede tener al menos tres distintos sentidos, según se presente como divergencia, rotacional o laplaciano. Creo que tendré que seguir haciendo más preguntas al respecto. Pero ya no estoy en la situación en que estaba cuando abrí este hilo y el anterior.
¿Cómo lo veis?

[carroza]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Hola.

Una pequeña contribución a este hilo. Este es un caso en el que uno puede usar relatividad, en toda su gloria. Primero, uno puede obtener el campo eléctrico y el campo magnetico en el sistema de referencia que se mueve con la carga. Obviamente, en este caso, el campo eléctrico toma el valor coulombiano, y el campo magnético es cero.

Ahora se cambia al sistema de referencia que se mueve con una velocidad v. E y B forman un tensor antisimétrico, que se transforma de manera conocida frente a las transformaciones de lorentz. La deriva ción detallada está en


http://www.physicspages.com/2013/03/...ansformations/

A partir de ahi, se obtienen las componentes de E y B en el sistema en el que la carga se está moviendo. (Ecuaciones 10-15 de la referencia anterior).

Evidentemente, como en el sistema en el que la carga está fija no se producen ondas electromagnéticas, en ningun sistema en el que la carga se vea moviéndose a velocidad constante, las habrá.

Un saludo

[inakigarber]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Buenas tardes;
Buscando información al respecto, encontré un vídeo en youtube cuya dirección adjunto porque creo que es interesante;
El vídeo dura algo menos de hora y media. Empieza haciendo una descripción del concepto de onda, pasa a hacer una descripción las ecuaciones de Maxwell en su forma integral, para finalmente describirlas en su forma diferencial. Me pierdo en el paso que da (hacia el minuto 38) cuando dice $\vec{A} \times \vec{B}\times \vec{C}=-(\vec{A}\cdot \vec{B})\vec{C}+\vec{A}(\vec{B}\cdot \vec{C})$ y no condigo demostrarlo. Este paso me permitiria llegar a $\nabla \times(\nabla \times \vec{V})=\nabla(\nabla \cdot \vec {V})-\nabla^2 \vec{V}$.

[Alriga]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

dice $\vec{A} \times \vec{B}\times \vec{C}=-(\vec{A}\cdot \vec{B})\vec{C}+\vec{A}(\vec{B}\cdot \vec{C})$ y no condigo demostrarlo.

Mira aquí: https://es.wikipedia.org/wiki/Doble_...ostraci.C3.B3n

Saludos.

[inakigarber]

Re: Sobre cargas en movimiento y Leyes de Maxwell

Gracias, le echare un vistazo.