2o ciclo Sobre las leyes de Maxwell

[Visitante]

Leyendo un poco he visto que a partir de las leyes de Maxwell se puede expresar $\vec{E}$ y $\vec{B}$ a través de un potencial escalar $\Phi$ y un potencial vector $\vec{A}$. He visto que la expresión final es $\vec{E}=-\nabla \Phi - \frac{\partial A}{\partial t}$ y $\vec{B}=\nabla \times \vec{A}$. Pero no entiendo muy bien el procedimiento para deducirlo y por qué existen dichos potenciales.

[HanT]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Primero se parte de la siguiente ecuación: $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$. Recuerda que debido a la inexistencia de monopolos magnéticos la divergencia del campo magnético siempre es cero. Por otro lado se puede demostrar que también la divergencia de un rotacional siempre es cero, de modo que es lógico definir $\vec{B}$ como el rotacional de un cierto $\vec{A}$ que denominamos potencial vector. Esa forma de definir el campo magnético cumple las ecuaciones de Maxwell, y en particular la de la divergencia igual a cero.

Para obtener el potencial escalar se procede de forma parecida. Partiendo de que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , sustituyendo la expresión del campo magnético en función del potencial vector e intercambiando el orden de las derivadas (la derivada temporal y la espacial no se afectan entre sí) tenemos que: $\vec{\nabla}\times (\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0$ ya que el rotacional del gradiente de cualquier campo escalar $\phi$ es siempre nulo definimos $-\nabla \Phi=\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

La razón de definir tanto el potencial vector como el escalar es de carácter práctico. Es mucho más fácil (por lo general) calcular los potenciales y a partir de ellos los campos, que calcular los campos directamente. La razón de esto es que los potenciales están indeterminados. Tú puedes cambiar tu potencial para trabajar de forma más fácil siempre que ese potencial reproduzca el mismo campo físico. Por ejemplo: si coges en lugar de un potencial vector $\vec{A}$ coges un $\vec{A'}=\vec{A} +\vec{\nabla} \lambda$ y calculas su rotacional para calcular el campo magnético, como el rotacional del gradiente de $\lambda$ es cero, $\vec{B}=\nabla \times \vec{A}=\nabla \times \vec{A'}$. Puedes buscar también sobre transformaciones Gauge en el contexto de la electrodinámica. De forma resumida esta es la explicación que me dieron en electromagnetismo. Este año en electrodinámica creo que veré una interpretación más física del asunto, sin embargo, como primera aproximación puedes pensar simplemente que es una forma más fácil de trabajar.

[Visitante]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

PPor otro lado se puede demostrar que también la divergencia de un rotacional siempre es cero, de modo que es lógico definir $\vec{B}$ como el rotacional de un cierto $\vec{A}$ que denominamos potencial vector. Esa forma de definir el campo magnético cumple las ecuaciones de Maxwell, y en particular la de la divergencia igual a cero.

¿Pero cómo demuestras que este potencial vector existe?

[HanT]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

¿Pero cómo demuestras que este potencial vector existe?

La "demostración" última es la experiencia. Ten en cuenta que todas las transformaciones que se hacen son consistentes con las ecuaciones de Maxwell, ecuaciones ya probadas experimentalmente. El potencial vector puedes pensar que no deja de ser una herramienta matemática. La cosa es que a partir de ese potencial vector, calculas más fácilmente los campos y después vas al laboratorio y compruebas. Cuando estudies cuántica probablemente te preguntes cómo demostramos la existencia de la función de onda. Bueno, la cuestión no es muy diferente, en cuántica se usa la función de onda, por ejemplo, para calcular valores medios asociados a partículas (posición, momento, etc). ¿Existe la función de onda como un ente "real" en la naturaleza? Bueno, primero deberíamos decir qué entendemos por real, lo cual ya es un aprieto. Son debates interesantes, no digo que no, pero creo que esas preguntas no deben impedirnos ver el hecho de que independientemente de eso la función de onda te permite calcular cosas que luego la experiencia ratifica. En este caso al potencial vector le pasa algo parecido.

Dicho esto, se mencionó el año pasado en clase el efecto Aharonov-Bohm del cual no sé absolutamente nada, pero según dijo mi profesor comprometía la interpretación del potencial vector que te he dado como algo puramente matemático. Por lo que he leído se prueba que el potencial vector es algo medible incluso en zonas donde no hay campo magnético. Sin embargo, no puedo decirte mucho del tema porque no lo he estudiado.

EDITO: ahora que lo he vuelto a leer, tal vez te refieras a cómo puedo saber que existe un $\vec{A}$ (en principio genérico) que cumpla eso. Eso no es difícil, ahora mismo no lo tengo a mano, pero se encuentra una expresión matemática para $\vec{A}$ que cumple las ecuaciones de Maxwell.

[Visitante]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

EDITO: ahora que lo he vuelto a leer, tal vez te refieras a cómo puedo saber que existe un $\vec{A}$ (en principio genérico) que cumpla eso. Eso no es difícil, ahora mismo no lo tengo a mano, pero se encuentra una expresión matemática para $\vec{A}$ que cumple las ecuaciones de Maxwell.

Sí, a lo que me refiero es a una cuestión más matemática que física, si el divergente de un campo vectorial es cero ¿por qué existe otro campo vectorial cuyo rotacional nos da este?

[Julián]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Agrego algo más.

Hay además algo interesante con el vector potencial y es que en ausencia de cargas, este permite la descripción completa del campo electromagnético

$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ y $\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

https://youtu.be/V5kgruUjVBs

Y por lo tanto es el campo que acopla con las funciones de onda de fermiones y hadrones. Algo interesante de ver es la invariante en el desplazamiento de fase local de una función de onda.

https://en.wikipedia.org/wiki/Aharon...als_vs._fields

[HanT]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Sí, a lo que me refiero es a una cuestión más matemática que física, si el divergente de un campo vectorial es cero ¿por qué existe otro campo vectorial cuyo rotacional nos da este?

Esto es porque en general para cualquier campo vectorial $F$ se cumple que: $div(rot \vec{F})=0$. De modo que si yo tengo que $div(\vec{B})=0$, es lógico pensar que podré encontrar un $\vec{A}$ tal que $\vec{B}=rot \vec{A}$. Así tendré que $div(\vec{B})=div (rot\vec{A})=0$. Ese es el hilo argumental más extendido según lo que he leído. De forma rigurosa matemáticamente supongo que la cosa se podrá más o menos fea formalmente, pero la razón de fondo es esta que te doy.

[Weip]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Ahora no tengo tiempo para desarrollarlo pero sobre la existencia matemática de los potenciales se puede leer el teorema de descomposición de Helmholtz.

[alexpglez]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Hola!
Se me ha adelantado Weip. Voy a explicar un poco lo que dice el teorema.

Esto es porque en general para cualquier campo vectorial $F$ se cumple que: $div(rot \vec{F})=0$. De modo que si yo tengo que $div(\vec{B})=0$, es lógico pensar que podré encontrar un $\vec{A}$ tal que $\vec{B}=rot \vec{A}$. Así tendré que $div(\vec{B})=div (rot\vec{A})=0$. Ese es el hilo argumental más extendido según lo que he leído. De forma rigurosa matemáticamente supongo que la cosa se podrá más o menos fea formalmente, pero la razón de fondo es esta que te doy.

Que la divergencia de un rotacional o el rotacional de un gradiente sean 0, da indicios de que puede ocurrir que los campos puedan provenir de un rotacional y un gradiente (similar a que el rotacional de la fuerza sea nulo da indicios de que es conservativa y venga de un potencial), pero no es verdad. Es cierto si se imponen ciertas condiciones sobre el dominio (sea simplemente conexo, por ejemplo, esto se cumple en el caso de los convexos en R^n y R^n mismo) y que la función sea C1 (por lo tanto, los campos C2).
La demostración no la conozco, pero una idea de demostración viene aquí, (la teoría de las formas diferenciales en abiertos de R^n se empieza a explicar en el punto 6.6, en el 6.9 viene justo este teorema: el lema de Poincaré). La teoría de las formas diferenciales amplia la teoría de campos vectoriales (vistos como funciones de R^3 a R^3), para ver la relación entre el gradiente, el rotacional, la divergencia y la derivada exterior recomiendo leer aquí la notación musical (punto 7.1).

Quería comentar que, aunque en muchas ocasiones, como cuando hay cargas puntuales, los dominios tengan "agujeros" (y no son simplemente conexos), se sigue hablando de potencial vector A y de phi. La razón creo yo que es porque, al fin y al cabo estamos modelizando la realidad, aunque no existan tales cargas puntuales, las podemos modelizar como el límite de una distribución continua que se concentra en un punto y en estos casos existen los potenciales. ¿La modelización da resultados correctos? ¿Qué más queremos entonces? (La respuesta que acabo de dar me deja mal sabor de boca... no es nada matemática, pero ¡la física no sólo son matemáticas, mucho menos cuando sólo queremos buscar modelos de la realidad!)

Saludos

[HanT]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Hola!
Que la divergencia de un rotacional o el rotacional de un gradiente sean 0, da indicios de que puede ocurrir que los campos puedan provenir de un rotacional y un gradiente (similar a que el rotacional de la fuerza sea nulo da indicios de que es conservativa y venga de un potencial), pero no es verdad.

Por eso decía que era lógico pensarlo, en el sentido de indicio como indicas. Ya suponía yo que la cosa tenía más enjundia de la aparente.

[alexpglez]

Re: Sobre las leyes de Maxwell

Por eso decía que era lógico pensarlo, en el sentido de indicio como indicas. Ya suponía yo que la cosa tenía más enjundia de la aparente.

Un contraejemplo de que el rotacional nulo no implica que haya un potencial, es el siguiente ejemplo que se trató en el hilo sobre campos conservativos:

Por ejemplo, si te han definido un campo conservativo como un campo cuyo rotacional es nulo entonces este campo será el gradiente de un potencial si el dominio es simplemente conexo, es decir, si no tiene agujeros. El (contra)ejemplo típico es el del campo definido en $\mathbb{R}^2 - \left\{ (0,0) \right\}$:

$f(x,y)=\left( -\dst\frac{y}{x^2+y^2}, \dst\frac{x}{x^2+y^2}\right)$

Este campo tiene rotacional nulo (cuestión de calcular) pero no es el gradiente de un potencial porque el dominio $\mathbb{R}^2 - \left\{ (0,0) \right\}$ tiene un agujero

Si uno calcula la integral de línea sobre la circunferencia de radio unidad centrada en el $(0,0)$, se ve que no da $0$ (como daría si la función proviniese de algún potencial) sino $2 \pi$.

Supongo que tiene que haber contraejemplos no muy complicados para el caso de la divergencia y el rotacional.

La intuición parece decirnos que esto no puede pasar, pero pasa y si uno quiere ser tedioso (como propone Malevolex) hay que tenerlo en cuenta.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Teniendo estas hipótesis de regularidad en cuenta, la demostración sigue como hizo HanT:
- Existencia del potencial vector A:

$$\nabla \dot \vec B=0 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \vec B=\nabla \times \vec A$$

- Existencia de phi:

$$\nabla \times \vec E=-\partial_t \vec B=- \partial_t (\nabla \times \vec A)=-\nabla \times (\partial_t \vec A)$$

$$\nabla \times (\vec E+\partial_t \vec A)=0 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \vec E+\partial_t \vec A=-\nabla \phi$$

$$\vec E=-\nabla \phi -\partial_t A$$