Otras carreras carga en el circuito RC de descarga

[eduardo66]

Buenas, en el siguiente circuito RC en su fase de descarga, me piden hallar la ecuación de la carga en los condensadores en un instante de tiempo dado t. Así como el voltaje que pasa a través del voltímetro en ese instante, sabiendo que:

• La carga en el condensador C: Qc= 10^-6 coulombs
• La carga en el condensador 2C: Qc= 20^-6 coulombs
• Rv= 4R
• R= 100 ohm
• Capacitancia C= 1 Faradio

El voltaje en el voltímetro es sencillo, sólo necesitaría la carga en el condensador C pues está conectado en paralelo, el problema es que no sé cómo obtener dicha ecuación de la carga.

Tengo dos grandes dudas:

1. Cómo trabajo la ecuación del circuito? Siempre he hecho circuitos de descarga con una resistencia y un condensador, pero dado que aquí hay dos y dos, no sé como plantear ni resolver la ecuación diferencial.
2. Para hallar la energía dispersada por las resistencias (o la carga que pierden los condensadores) cuando el circuito se ha descargado por completo, si no hay manera de hallar una capacitancia equivalente, hallo esa energía restante sacando la energía que pierde cada condensador por separado y luego las sumo?

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[Al2000]

Re: carga en el circuito RC de descarga

Llamando C1 y C2 a los dos condensadores de izquierda a derecha, I1 e I2 a las corrientes en sus respectivas ramas y dirigidas hacia arriba, tienes las dos ecuaciones

$$\frac {q_1}{C_1} = (2R) I_1 + R_v (I_1 + I_2)$$

$$\frac {q_2}{C_2} = R_v (I_1 + I_2)$$

donde las corrientes son $I_1 = dq_1/dt\,,\,\, I_2=dq_2/dt$. Resuelve este sistema de ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales apropiadas.

Respondiendo tu segunda pregunta, si el sistema se ha descargado por completo entonces la energía disipada será la suma de las energías iniciales de los condensadores.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: carga en el circuito RC de descarga

Hola Eduardo mi fuerte no es el electromagnetismo, pero por ser fin de semana podría esforzarme e intentar darle solución al problema y darte la aclaraciones que no serían difíciles debido a la sencillez del esquema.
Pero te hago una sugerencia ya que si los usuarios nos tenemos que esforzar en ayudarte, sería bueno que te esfuerces en hacer los enunciados y gráficos sobre todo mas claros, hay letras y símbolos que me han costado entender.

• La carga en el condensador C: Qc= 10^-6 coulombs
• La carga en el condensador C: Qc= 20^-6 coulombs

Revisa cual es el capacitor C y cual es su carga, esta duplicado el dato o no se entiende.

El voltaje en el voltímetro es sencillo, sólo necesitaría la carga en el condensador C pues está conectado en paralelo, el problema es que no sé cómo obtener dicha ecuación de la carga.

La carga es dato la tienes en la lista y sabiendo que la capacidad es 1 faradio resoluble $\Delta V=\dfrac{Q}{C}$...sacas la diferencia e potencial entre nodos.

Tengo dos grandes dudas:
Cómo trabajo la ecuación del circuito? Siempre he hecho circuitos de descarga con una resistencia y un condensador, pero dado que aquí hay dos y dos, no sé como plantear ni resolver la ecuación diferencial.

Tienes dos mallas y una ecuación diferencial en cada una, además un nodo en donde la corrientes obtenidas se suman, el sistema es resoluble 3 ecuaciones 3 incógnitas.

Para hallar la energía dispersada por las resistencias (o la carga que pierden los condensadores) cuando el circuito se ha descargado por completo, si no hay manera de hallar una capacitancia equivalente, hallo esa energía restante sacando la energía que pierde cada condensador por separado y luego las sumo?

Entiendo que si, calculas la función de la corriente y voltajes y la integras para el tiempo que te piden por separado y luego sumas para tener el total.


Edito Hola Al2000 respondí sin ver que ya lo habías hecho, Saludos

[eduardo66]

Re: carga en el circuito RC de descarga

Sí! Disculpa, fue un error de tipeo, la carga en el condensador 2c es 20^-6 coulombs

- - - Actualizado - - -

$$\frac {q_1}{C_1} = (2R) I_1 + R_v (I_1 + I_2)$$

$$\frac {q_2}{C_2} = R_v (I_1 + I_2)$$

Empezando a resolver llegué hasta aquí, mi duda es, cuando vaya a resolver la ecuación diferencial en base a $q_2$ qué hago con el $dq_1/dt$ lo considero como constante?

[Al2000]

Re: carga en el circuito RC de descarga

20^6 culombios es una carga gigantesca, supongo que quisiste escribir 20^-6 culombios. Dicho sea de paso, en realidad me imagino que estás queriendo decir 2x10^-6 culombios, que no es lo mismo (20^-6 es 1.56x10^-8).

[eduardo66]

Re: carga en el circuito RC de descarga

Sí, me "comí" el negativo y el 20, pero sí es así: q2c= 20^-6 coulombios. Dicho esto cómo abordo el $q_1$ en la solución a la ecuación diferencial que expuse arriba?

[Alriga]

Re: carga en el circuito RC de descarga

Lo que intentan explicarte los compañeros es que a partir de este circuito, aplicando las Leyes de Kirchoff:



$v_1=200 \ i_1+v_2$

$v_2=400 \ (i_1+i_2)$

Dado que en un condensador se cumple $\boldsymbol{q=v\cdot C}$ y en general la corriente eléctrica es la derivada temporal de la carga, (en este ejemplo los condensadores cargados se descargan y tal como hemos dibujado las corrientes, $\boldsymbol{i=-\dot q}$ , uso el punto como notación de la derivada temporal), estas 2 ecuaciones se convierten en:

$\dfrac{q_1}{C_1}=-200 \ \dot q_1+\dfrac{q_2}{C_2}$

$\dfrac{q_2}{C_2}=-400 \ \dot q_1-400 \ \dot q_2$

Operando, si no me equivoco, (repásalo), me sale el sistema de 2 ecuaciones diferenciales con 2 incógnitas:

$\begin{aligned}<br /> \dot q_1 & =-\dfrac 1{200 \ C_1} q_1+\dfrac 1{200 \ C_2} q_2 \\<br /> \dot q_2 & =\dfrac 1{200 \ C_1}q_1-\left ( \dfrac 1{200 \ C_2}+\dfrac 1{400 \ C_2} \right ) q_2<br /> \end{aligned}$

No sustituyo el valor de las capacidades porque no me fío de que sea correcto lo que has puesto en el enunciado "Capacitancia C = 1 Faradio" Eso es una capacidad gigantesca, ¿realmente es así? ¿O es $C=1 \mu F$ ? Y también insisto en lo que te ha preguntado el compañero Al2000, ¿seguro que las cargas iniciales son 10^-6 y 20^-6 C? ¿No serán $10 \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C$ y $20 \mu C=20 \cdot 10^{-6} \ C$ que no es lo mismo que lo que tú has puesto? ¿O tal vez sea $1\mu C$ y $2\mu C$?

Sustituye el valor de las capacidades y resuelve el sistema de 2 ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes constantes en el que las 2 incógnitas son $q_1(t)$ y $q_2(t)$ . Después aplica las condiciones iniciales de carga en ambos condensadores y ya está.

Saludos.

[eduardo66]

Re: carga en el circuito RC de descarga

Muchas gracias. Sí, son valores muy inusuales, pero así los copió el profe en la tablita de enunciados. La capacitancia C=1F la colocó así para simplificar los elementos en el calculador.