Secundaria El potencial eléctrico en un Van der Graaf

[manueldavid84]

Hola a todos,


En otros dos hilos me ha quedado (creo) que bastante claro el concepto de potencial eléctrico para cargas puntuales. (Y gracias a Arivasm y a Carroza).


Ahora veamos con una distribución de carga continua...


Bien, ya sé por lo que he investigado que hay que diferenciar según en cuantas dimensiones se distribuye en si es una distribución lineal, superficial o volumétrica... Me interesa volumétrica y de simetría esférica.


En este punto desconozco si es o no trascendente, y en qué sentido, si la esfera es maciza o hueca, o si es de un material más o menos conductor... Voy a suponer que es hueca, y que es un conductor ideal. Es más, va a ser un generador de Van der Graaf de 10 cm. de radio.


(Todo esto no es a capricho, sino porque lo he tomado de un ejercicio de una web que viene desgraciadamente sin la solución).


En un momento dado ese generador alcanza un potencial eléctrico de 90.000 V.


Averiguar cuál es la carga total del Van der Graaf me ha resultado trivial, dado que habiendo simetría esférica sé que se hacen los cálculos como si toda la carga estuviera concentrada en el centro (aunque realmente se encuentra repartida por la superficie). Me salen 1 micro culombio.


Quiero de momento confirmar que ese potencial en la superficie del Van der Graaf quiere decir lo mismo o no que cuando se tratan de cargas puntuales, es decir,


¿Esos 90.000 V indican que de situar una carga de prueba positiva en la superficie del Van der Graaf, éste saldrá repelida de tal manera que acabará adquiriendo en el infinito una energía cinética de 90.000 julios?


¿En este caso el 0 está en el infinito? ¿Ó también está en el interior de la esfera?


(Por cierto, también podría preguntarme aquí por qué esa carga de prueba sale repelida... Y no lo hacen también las cargas que están en la superficie del generador)


¿Y en dónde se encuentra el potencial máximo?


Porque en el caso de distribuciones de carga discretas, puntuales, el potencial máximo se situaba en los puntos lo más próximos posibles a +Q (la carga que generaba el campo), pero en este caso no veo donde se alcanzan cantidades, si no queréis infinitas ("en física el infinito no existe "), al menos tan... "Enormes"


(He releído varias veces este largo texto, y no sé si se va a entender todo esto que bulle en mi cabeza...)

[arivasm]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

¿En este caso el 0 está en el infinito? ¿Ó también está en el interior de la esfera?

Usualmente si no se indica nada se sobreentiende que el 0 está en el infinito (es decir, que se ha elegido ese cero).

En el interior de la esfera, al menos idealmente (es decir, pensando no en el Van der Graaf de verdad, con su cinta pasando por dentro, etc, sino en una esfera metálica cargada y en equilibrio electtrostático) el potencial es el mismo que en la esfera, según cuentas 90 kV.

¿Esos 90.000 V indican que de situar una carga de prueba positiva en la superficie del Van der Graaf, éste saldrá repelida de tal manera que acabará adquiriendo en el infinito una energía cinética de 90.000 julios?

Siempre y cuando la carga de prueba tuviese el (enormísimo) valor de 1 C. Si, por ejemplo, es de un 1 nC entonces esos 90000 J se convierten en 0,0009 J. Recuerda, $q(V_A-V_\infty)=qV_A$ (si se toma $V_\infty=0)$

(Por cierto, también podría preguntarme aquí por qué esa carga de prueba sale repelida... Y no lo hacen también las cargas que están en la superficie del generador)

Sale repelida si está "casi" sobre la esfera, pero no en el material de la misma. Ten en cuenta que sobre una carga que esté en ese material no solo actúa la fuerza de Coulomb debida al exceso de carga que causa esos 90 kV, también actúan las fuerzas de tipo atómico que hacen que los metales retengan a los electrones e iones que poseen. Y obviamente, si nos "pasamos de rosca" y el potencial crece y crece y crece, sí acabarán escapando. Seguro que has visto bobinas de Tesla echando chispas...

¿Y en dónde se encuentra el potencial máximo?

En todos los puntos de la esfera, interior incluido (pensando en ella de manera ideal, como ya dije)

Porque en el caso de distribuciones de carga discretas, puntuales, el potencial máximo se situaba en los puntos lo más próximos posibles a +Q (la carga que generaba el campo), pero en este caso no veo donde se alcanzan cantidades, si no queréis infinitas ("en física el infinito no existe "), al menos tan... "Enormes"

No deberías confundir que el campo que se crea desde la superficie hacia el exterior sea idéntico al que originaría una carga puntual en su centro con que el sistema equivalga completamente a una carga puntual. De hecho, un aspecto notable es que en el interior el campo es nulo, y por eso el potencial es el mismo en todos los puntos.

Es decir, si de la superficie hacia afuera el campo equivale al que originaría una carga puntual en el centro, dentro equivale a que no haya carga.

[manueldavid84]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Hay una cosa que no me cuadra:

Si en el interior el campo es nulo... ¿No será también en ese interior nulo el potencial? Es que te he entendido en el primer párrafo que en el interior de la esfera el potencial era de también 90 KV...

Y ya que estoy, ¿el campo es nulo, absolutamente nulo en todo el interior o sólo en el centro? Porque sí me parece muy intuitivo que por simetría sea nulo en el centro, pero en un punto interior muy descentrado, muy cerca de la superficie interior... Pues no lo veo tan intuitivo...

[Alriga]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Si el material de una esfera maciza de radio "R" es un conductor ideal y la esfera está uniformemente cargada en todo su volumen con carga total "Q", el campo eléctrico en cualquier punto del interior a una distancia "r" del centro es radial y de módulo:

$E(r\leq R)=\dfrac{Q \ r}{4\pi \epsilon_0 R^3}$

Y el módulo del campo en el exterior

$E(r\geq R)=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

Lo que sucede es que entonces no está en equilibrio electrostático. Si se le deja evolucionar hasta alcanzar el equilibrio, la carga se acumula en la superficie. Entonces (en el equilibrio) en todos los puntos interiores de la esfera el campo es nulo y el potencial de cualquier punto interior es el mismo que el de un punto de la superficie, en tu ejemplo 90 kV

$E(r < R)=0$

$E(r\geq R)=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

Y el potencial:

$U(r\leq R)=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ ( constante )

$U(r\geq R)=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 r}$

Saludos.

[manueldavid84]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Pues sigo sin entender que en un mismo punto haya campo 0 y el potencial no sea 0 también...

[Alriga]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Pues sigo sin entender que en un mismo punto haya campo 0 y el potencial no sea 0 también...

En una dimensión el campo es la derivada del potencial cambiada de signo. La derivada de una constante es cero sin que la constante tenga que ser necesariamente 0, (¿recuerdas esta propiedad de las derivadas que se estudiaba en bachillerato?)

Si en una zona del espacio U(r)=90000 constante, la derivada en esa zona será:

$E=-\dfrac{dU}{dr}=0$

Aunque en esa zona sea $U\neq 0$

En general (3 dimensiones espaciales) el campo es el gradiente del potencial cambiado de signo:

$\vec E=-\nabla U$

El gradiente es un vector formado por una especie de "suma de derivadas en las tres direcciones del espacio"

$\vec E=-\left (\dfrac{\partial U}{\partial x}\hat i+\dfrac{\partial U}{\partial y}\hat j+\dfrac{\partial U}{\partial z}\hat k \right )$

En palabras llanas el campo es "la variación" espacial del potencial. Si tu te mueves en una zona en la que el potencial es muy grande, por ejemplo 90 kV, pero en esa zona el potencial no varía, (es 90 kV en todos los puntos de esa zona) el campo en toda esa zona es cero.

Saludos.

[arivasm]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Voy a aportar un punto de vista diferente del de Alriga, pero que complementa lo que ha escrito

Pues sigo sin entender que en un mismo punto haya campo 0 y el potencial no sea 0 también...

Si el campo es cero en una región eso significa que una carga de prueba que esté en ella no experimentará fuerza de Coulomb. Por lo tanto, esta última no realizará trabajo alguno. Quizá prefieras verlo de esta manera: no contribuirá nada a cambiar la energía cinética de la partícula.

Recordando la definición de potencial, $W=q(V_A-V_B)$, con ahora A y B dos puntos cualesquiera del interior, como $W=0$ concluimos que $V_A=V_B$, lo que no obliga a que sea cero, sino que sea el mismo valor. De hecho, recordemos este último simplemente dependerá de cuál sea el cero elegido. Como A y B son dos puntos cualesquiera del interior, concluimos que todo el interior tiene el mismo potencial.

De todos modos, dicho potencial no es cero, aunque elijamos el cero en el infinito. Pensemos que la capa cargada es muy delgada, bien sea porque se trata de una esfera maciza en equilibrio electrostático, como indica Alriga, o porque es un delgado casquete esférico que posee una carga neta no nula. Situemos ahora nuestro punto de partida, A, en uno del interior y el de llegada, B, no también en el interior, como antes, sino justo en la superficie de dicha esfera o casquete, donde $V_B=90\ \rm kV$, por ejemplo. Como no hay campo eléctrico hasta que justamente estemos en el punto B tenemos que $W=0$. Conclusión: $V_A=V_B=90\ \rm kV$.

De todos modos, en general, el que el campo eléctrico sea nulo no implica que el potencial sea nulo, sino uniforme.

[Julián]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

¿Esos 90.000 V indican que de situar una carga de prueba positiva en la superficie del Van der Graaf, éste saldrá repelida de tal manera que acabará adquiriendo en el infinito una energía cinética de 90.000 julios?

No. La diferencia de potencial de 90 KV es con respecto a las cargas propias del generador. La diferencia de potencial entre las cargas del electrodo, polo del generador y una carga externa será diferente. La intuición es directa si se observa el campo eléctrico el cual es generado entre las cargas de la parte superior (polo) y la parte inferior (masa) del generador con un campo eléctrico generado por una única carga, el cual es radial.

$\dst {\int}^{ A}_{B } \vec{ E} . d \hat{ l} = 90 KV \neq {\int}^{ A}_{\infty} \vec{ E} . d \hat{ l}$

Donde A y B es la distancia entre los electrodos del generador. Ya explicaré por qué no es lo mismo.

Usualmente si no se indica nada se sobreentiende que el 0 está en el infinito (es decir, que se ha elegidoese cero).

Negativo. Eso no es correcto y es un error que se acarrea.

Si el generador posee 90KV eso implica que se aplicará en el sistema 90 KJ por cada C de carga para alcanzar la situación de equilibrio. ¿Cuál es el sistema? Pues el electrodo cargado (esfera conductora), el dieléctrico y el material que ha perdido electrones (o ganado, dependiendo de la disposición de los materiales empleados), es decir, la masa del generador.

Es un error muy común utilizar el modelo de 2 cargas aisladas, donde el sistema "son esas 2 cargas" y el entorno es el espacio vació. En esa situación la condición de equilibrio es una separación infinita entre las mismas porque el sistema solo incluye o considera esas 2 únicas cargas, es una situación ideal que no se presenta en la práctica. No así en este caso, donde la condición de equilibrio es "el equilibrio de las cargas desvalanceadas", el cual necesitó un trabajo externo de 90 KV *1 C para alcanzar dicha condición .

¿A donde irán las cargas sinó es al equilibrio? Siendo coloquial y general, las cargas siempre vuelven a la fuente!!!

Digo esto porque luego se acarrea el error de pensar que las cargas van de un potencial mayor al potencial de referencia y no es así. Las cargas, se equilibrarán. Ejemplo, un sistema trifásico de distribución con esquema NT (neutro a tierra); cuando una fase hace contacto con tierra, las cargas no van a la tierra física sino que a través de la tierra física completan el circuito al centro estrella del transformador (vuelven a la fuente!!), y siendo más formales, a la situación de equilibrio. ¿Pero cómo? al estar el neutro conectado a tierra, ¿no es el mismo potencial? Pues sí, mientras no halla un flujo de carga en la tierra. Dejemos de lado el hecho de que a ser un sistema de distribución este es CA y la carga no tiene un desplazamiento lineal constante pero se entiende el concepto de la fuente y circulación del campo.

Es decir, la diferencia de potencial de 90 KV en el generador será con respecto a la situación de equilibrio de cargas. Ahora bien, en el caso de que el generador cargado + carga externa (carga de prueba - generador), este poseerá un potencial diferente.

Paso a explicar el generador.
El rozamiento entre diferentes materiales en la tabla triboeléctrica produce una transferencia de carga, donde la energía puesta en juego es: ${W}_{ e} * \Delta t$

${W}_{ e} = V(t) * I (t) + {W}_{ nc}$

$V (t) = Vf (1 - {e}^{\frac{- t}{ RC } })$

$I(t) = \frac{Vf}{ R} {e}^{\frac{- t}{ RC } }$

Vf será la tensión que alcance la rigidez dieléctrica del sistema o el valor de diferencia de potencial que se alcance cuando Feléctrica = Fexterna (fuerza electroestática entre materiales es igual a la fuerza externa).

We es la potencia externa que mueve generalemte un rodillo, V(t)I(t) es la potencia eléctrica que se está transferiendo al sistema. Y Wc es la potencia que entrega la fuerza no conservativa, es decir, la fuerza que produce variación de temperatura entre los materiales.

Una vez alcanzado el valor de rigidez dieléctrica, las cargas se equilibrarán aportando la energía $V(t) * I (t)* \Delta t$ al dieléctrico, es decir, el entorno.

Si conectamos una impedancia entre los potenciales, pues, las cargas se equilibrarán aportando esa energía a la carga conectada.

¿Por donde retornarán las cargas? Pues por el camino de menor impedancia.

[manueldavid84]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Empezando por la última explicación de Arivasm:


Creo que lo estoy entiendo desde una perspectiva, pero no desde otra que también estoy reflexionando (y personalmente no puedo considerar haberlo "entendido de verdad" hasta haberlo entendido desde todas las perspectivas).


PERSPECTIVA QUE SÍ ENTIENDO: si para recorrer un trayecto que va desde A hasta B no tengo que hacer ningún trabajo (porque no se me opone ninguna fuerza), la diferencia de potencial es 0, luego podemos decir que A y B son dos puntos equipotenciales.


Al ser el campo nulo en el interior de la esfera, el trabajo que hay que hacer para llevar una carga de prueba +q desde un punto interior A hasta un punto B situado en la superficie de la esfera, no encuentro fuerza que se me oponga (E= 0), de modo que no realizo trabajo alguno, luego la diferencia de potencial es 0... Así que si 90 KV de potencial hay en la superficie, 90 KV de potencial hay en ese punto interior A.


PERSPECTIVA QUE NO ENTIENDO: Yo hasta ahora he entendido el potencial en un punto como un valor que me "adelanta" el valor de la energía cinética que alcanzará esa carga de prueba de +1C en el infinito...


¿Qué entiendo yo cuando me dicen que el potencial es 90 KV en la superficie de la esfera? Pues que al situar esa carga de prueba, de +1 C, en la superficie de dicha esfera, en cualquier punto de esa superficie equipotencial, y soltarla, va a salir repelida adquiriendo 90.000 julios de energía cinética en el infinito.



Si me alejo de la esfera y voy situándome en sucesivos puntos donde el potencial es 30 KV, 10 KV ó 2 KV (¿diferentes "curvas de nivel"?), yo entiendo automáticamente que me están avisando que de soltar la carga de prueba en esos puntos pertenecientes a diferentes curvas de nivel, la carga de + 1C adquirirá respectivamente en el infinito una energía cinética de 30.000, 10.000 y 2.000 julios...


Y sin embargo, de soltar la carga en el interior de la esfera (por ejemplo, en su centro), dicha carga permanecerá quieta... ¡Su energía cinética será 0!


Esto es lo que ahora me descoloca por completo...
*************************


Por otro lado, no puedo de dejar de agradecer a Alriga su explicación: el enfoque matemático me interesa, y mucho, pero además de que ahora mismo tengo las derivadas un poco oxidadas, y de que el material didáctico que estoy manejando no menciona en ningún momento que "en una dimensión el campo sea la derivada del potencial cambiada de signo...", de hecho es algo que ahora mismo me sorprende y me supera.
Creo que antes de dar el salto al enfoque matemático, tengo la "obligación" de "situarme", de tener un acercamiento más "intuitivo"... Creo que con paciencia y tesón puedo llegar a ese nivel.

[arivasm]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Negativo. Eso no es correcto y es un error que se acarrea.

Simplemente aclarar que yo he dado por bueno el valor de 90 kV que puso manueldavid84. Entiendo que lo de menos de sus dudas es el valor concreto.

Comprendo que en un Van der Graaf real la diferencia de potencial que interesa es la que indicas (Julián). Pero me da la sensación de que la duda de manueldavid84 está en un plano diferente, más próximo al concepto de potencial que al funcionamiento de un Van der Graaf.

PERSPECTIVA QUE NO ENTIENDO: Yo hasta ahora he entendido el potencial en un punto como un valor que me "adelanta" el valor de la energía cinética que alcanzará esa carga de prueba de +1C en el infinito...

No tengo mucho tiempo ahora. Solo adelanto un par de cosas.

Primera: eso es así si la carga parte del reposo. Ten en cuenta que al pasar por los puntos cuyos potenciales indicas, la partícula no estará en reposo.
Segunda: eso es así si no actúan otras fuerzas.
Tercera: la definición de potencial no es esa, sino que hace referencia al trabajo realizado por la fuerza de Coulomb. Actúen o no otras fuerzas. Obviamente para que la carga de prueba, partiendo del reposo desde el interior de una esfera cargada, pueda alcanzar el infinito deberán actuar otras fuerzas que, como mínimo, la saquen al exterior de la esfera.

[Julián]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Comprendo que en un Van der Graaf real la diferencia de potencial que interesa es la que indicas (Julián). Pero me da la sensación de que la duda de manueldavid84 está en un plano diferente, más próximo al concepto de potencial que al funcionamiento de un Van der Graaf.

Tienes razón, pensé en primera instancia que la duda era con respecto a la diferencia de potencial en el.generador. Error mío.

En si, la diferencia es que el generador tiene el campo no radial, es un dipolo, con fuente y sumidero de campo en el mismo sistema. Y una carga aislada no. De allí la capacitancia del sistema.

[arivasm]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Ahora tengo algo más de tiempo.

La definición del potencial es a través de sus diferencias: éstas son igual al trabajo que realiza la fuerza de Coulomb por unidad de carga. De ahí que cuando una carga de prueba $q$ es trasladada desde un punto A hasta otro B, sea por la fuerza de Coulomb sola o con el concurso de otras fuerzas, el trabajo que realiza la fuerza de Coulomb es $W_{Coul}=q(V_A-V_B)$

La energía cinética se define también a través de sus diferencias: su variación es igual al trabajo total que realizan las fuerzas que actúan sobre la partícula. Así pues, cuando una partícula es llevada desde un punto A a otro B, se cumple que $W_{total}=Ec_B-Ec_A$.

Yo hasta ahora he entendido el potencial en un punto como un valor que me "adelanta" el valor de la energía cinética que alcanzará esa carga de prueba de +1C en el infinito...

Al decir esto en realidad no estás "atrapando la esencia" del concepto de potencial, pues estás centrándote en un caso bastante particular. Me refiero a que para que tu afirmación sea correcta deben suceder tres cosas:

• La carga de prueba, $q$, es de 1 C (ésta no es la más limitante)
• En el desplazamiento solo interviene la fuerza de Coulomb (de esa manera $W_{total}=W_{Coul}=q(V_A-V_B)$
• La partícula parte del reposo (de esa manera $Ec_A=0$ y entonces $W_{total}=Ec_B$)

Al juntar todo eso tenemos que $Ec_B=q(V_A-V_B)$. No hay problema en que estés interesado en que B sea el infinito. Peor es que a las tres condiciones anteriores añades una más:

• El cero del potencial está elegido de manera que $V_\infty=0$

Como ves, $Ec_\infty=qV_A$ es demasiado particular. Y además no aporta nada respecto de $V_A-V_B=W_{Coul}/q$. De ahí a la definición matemática que ha usado Julián no hay nada (para la de Alriga hay que dar un paso más), mientras que lo que has escrito tú la aleja bastante.

[manueldavid84]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Quisiera daros las gracias a todos: Arivasm, a Julián y a Alriga... Mi nivel es el que es, y probablemente en mi defectuosa formación autodidacta faltan ciertas "claves"...

Creo que ya he empezado a atrapar la idea de Arivasm... Probablemente lo que me desorienta es la propia palabra "potencial", que mi cerebro procesa automáticamente como " lo que POTENCIALMENTE me puede devolver"... Tengo que ir meditando todo lo que me habéis puesto en este hilo.

Ahora en un rato expongo la siguiente fase de mi duda, y os contextualizo un poco.
Esperamos ir asimilando todo con paciencia...

[Al2000]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Para dar las gracias, pulsa en el botón ¡Gracias! en la esquina inferior izquierda del mensaje que motiva el agradecimiento.

No seas desagradecido pero tampoco te vayas al extremo de repartir "gracias" como caramelos en piñata, agradece cuando sea apropiado (por ejemplo, este mensaje no amerita que me des las gracias).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: El potencial eléctrico en un Van der Graaf

Probablemente lo que me desorienta es la propia palabra "potencial", que mi cerebro procesa automáticamente como " lo que POTENCIALMENTE me puede devolver"...

Y de algún modo es así: se trata de trabajo eléctrico (por unidad de carga), y teniendo en mente que como lo que cuentan son las diferencias, cuando, por ejemplo, me dicen que el potencial en tal punto son 100 V (lo que implica la elección de cierto lugar como 0 V), lo que me están expresando es que por cada C que se traslade desde ese punto hasta el elegido como cero el trabajo realizado por la fuerza de Coulomb será de 100 J (no hay mucha magia en esto: V=J/C). Pero eso es "potencialmente", quizá la carga no haga ese viaje exactamente. Quizá lo haga desde un punto donde el potencial es de 100 V hasta otro donde es de 90 V: el trabajo realizado por la fuerza de Coulomb es de 10 J por cada C que haga ese desplazamiento.

Una buena manera de comprender el potencial eléctrico es analizar su homólogo gravitacional: el potencial gravitatorio. Por ponerlo sencillo diremos que en el caso de gravedad uniforme (como prácticamente sucede en la habitación en la que nos encontramos) el potencial gravitatorio vale $gh$, donde $h$ es la altura respecto del nivel que escojamos como cero. A cada punto de la habitación le corresponde cierto valor del potencial gravitatorio: son los J que trabajaría (potencialmente) el peso por cada kg que se traslade desde ese punto hasta el nivel cero anterior. Por supuesto, en realidad a cada punto no le corresponde *un* valor del potencial gravitatorio, pues éste depende de una elección: la altura cero. Lo que en realidad tiene sentido físico es la variación (diferencia) de potencial gravitatorio (y entonces altura) que corresponde a un desplazamiento.

El que me digan: entre este punto y este otro hay una diferencia de potencial gravitatorio de 20 J/kg me informa que si un objeto hiciese/hace ese desplazamiento, sin que importe el camino concreto que conecte ambos puntos, entonces el peso trabajará 20 J por cada kg del objeto. Del mismo modo, cuando me informan que entre los bornes de una pila existe una diferencia de potencial de 1,5 V me están diciendo que si una carga hiciese/hace un desplazamiento entre ambos, por cada C de la misma el trabajo realizado por la fuerza de Coulomb será de 1,5 J. Y fíjate que el camino no importa, como tampoco lo hace que haya cargas haciendo ese viaje (la batería está en un circuito) o no.