1r ciclo Corriente electrica

[kempes]

Hola

Estoy con un problema que dice asi:

Una esfera de radio a y centro en el origen esta hecha de un material conductor isotropo homogeneo y lineal. El potencial en su superficie se mantiene a los valores dados por $\phi=\phi_0 cos\theta$ siendo $\phi_0=cte$ , en coordenadas esfericas. Encontrar la densidad de corriente libre $\vec J_f$ en todos los puntos de su interior.

Yo supongo que se deba utilizar la formula

$\displaystyle \vec J_f=\sigma \vec E$

y por ello busco el campo electrico calculando el gradiente del potencial en coordenadas esfericas

$\displaystyle \vec E=-\nabla \phi = -\frac{\phi_0 sen\theta}{r}\vec u_{\varphi}$

Pero no es esta la solucion que da el libro. Esta bien hecho esto ??

Ademas, no se si es errata o no , pero en el libro da la solucion de la densidad de corriente libre como un vector en la direccion del eje z.

Un saludo y gracias.

[polonio]

Re: Corriente electrica

La corriente va, efectivamente, en dirección $\vec{u}_z$.

Te estás equivocando en que el potencial que te dan es en la superficie, no en todo el conductor. Luego, aunque $\vec{E}= -\nabla \phi(\vec{r})$, no es cierto que $\vec{E}= -\nabla \phi (r=a)$ que es lo que estás haciendo.

Así que calcula primero lo que vale el potencial en todo el conductor teniendo en cuenta la condición de contorno que te dan (el potencial en la superficie: $\phi (a)= \phi _0 cos(\theta)$).

Continúa con el problema teniendo en cuenta esto y ya me dirás.

[kempes]

Re: Corriente electrica

Hola de nuevo

Supongo que me estas indicando que use la ecuacion de laplace para calcular el potencial , no? (no estoy muy rodado con esta ecuacion). El caso es que he intentado resolverla y me da el potencial siguiente:

$\displaystyle \phi (r,\theta)=\frac{\phi_0 a^2}{r^2}cos\theta$

Para ello he supuesto que el potencial cuando $\displaystyle r\rightarrow \infty$ es cero. El caso es que debo haberlo hecho mal , o no es este el mejor metodo para hallar el potencial porque el campo me sale con componente radial y polar. Es este el potencial en todas partes?

[polonio]

Re: Corriente electrica

No, no la has resulto bien. No da lo mismo dentro que fuera de la esfera.

Además, no se tiene por qué cumplir la ecuación de Laplace, sino la de Poisson, pues puede hacer carga volumétrica en el conductor:

$\nabla ^2 \phi= -\frac{\rho}{\epsilon _0}$

De todas formas, este cálculo es muy engorroso. Intenta, mejor, aplicar los siguientes pasos:

1- Por la distribución de potencial y despreciando efectos de borde, el campo eléctrico y la corriente dentro del conductor van en dirección del eje $OZ$. Ya sabemos que sólo tienen componentes en direción de $\vec{u}_z$

2- Ahora:

$\vec{\nabla} \times \vec{E}=\vec{0}$

$\vec{\nabla} \cdot \vec{J}_f= -\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$ (es nula si la corriente es estacionaria)

$\vec{J}_f= \sigma \vec{E}$

Con las ecuaciones que te queden, ya sabrás de qué coordenadas dependen los campos.

3- Por último integra el potencial de un punto a otro de la superficie (sabes lo que vale en cada punto de la superficie y sabes cómo depende el campo de la posición):

$\int _{\phi(A)} ^{\phi(B)} d\phi =-\int _A ^B \vec{E} \cdot d\vec{r}$

Y ya deberías tenerlo.

¡Ánimo de nuevo!

[kempes]

Re: Corriente electrica

El punto 1 lo entiendo, pero no entiendo muy bien el punto 2 que me mencionas. Es decir, si no conozco ni $\displaystyle \vec{E}$ ni $\vec{J_f}$ no tengo muy claro que es lo que debo de obtener de esas ecuaciones. Podrias echarme un cable (mas) con esto?

Gracias

[polonio]

Re: Corriente electrica

Hombre ésas son las incógnitas: los campos. Con estos tres pasos obtienes las ecuaciones para despejarlas.