1r ciclo Densidad de carga de un electrón; energía

[Metaleer]

Hola.

Leyendo un poco por ahí he encontrado que un modelo válido para el átomo de hidrógeno puede ser el de una carga puntual que representa al protón, cuyo valor es $+|e|$, rodeada por una carga negativa que representa al electrón, cuya densidad de carga es $\displaystyle \rho = -\frac{e}{\pi a^3} \exp \left(\frac{-2r}{a}\right)$, con $a>0$.

Me he puesto a hacer algunos cálculos, como el campo electrostático debido al electrón, es decir, a la distribución de carga $\displaystyle \rho = -\frac{e}{\pi a^3} \exp \left(\frac{-2r}{a}\right)$. Con la ley de Gauss, se obtiene fácilmente:

$\displaystyle \mathbf{E} = -\frac{e \left(a^2-\exp\left(-\frac{2 r}{a}\right) \left(a^2+2 a r+2<br /> r^2\right)\right)}{4 \pi a^2 r^2 \epsilon_0 } \mathbf{\hat{r}}.$

Ahora bien, sabemos que podemos calcular la energía electrostática con

$\displaystyle \frac{\epsilon_0}{2} \iiint_\mathcal{V}\mathbf{E} \cdot \mathbf{E} d \vartheta = \frac{\epsilon_0}{2} \int_0^{\infty} \overbrace{\left(\frac{e \left(a^2-\exp\left(-\frac{2 r}{a}\right) \left(a^2+2 a r+2<br /> r^2\right)\right)}{4 \pi a^2 r^2 \epsilon_0 } \right)^2}^{\displaystyle \mathbf{E} \cdot \mathbf{E} = |\mathbf{E}|^2} \underbrace{4 \pi r^2 dr}_{\displaystyle d \vartheta} = \frac{5 e^2}{64 \pi a \epsilon_0},$

es decir, un valor finito, no así como el que se tiene al integrar a todo el espacio el campo de una carga puntual (este otro tema ha sido tratado en otro hilo). ¿Este valor tiene algún significado físico en especial? ¿El modelo del que se ha partido del átomo de hidrógeno es el adecuado para realizar estos tipos de cálculos?

Saludos.

[chap]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Hola a todos. Para Metaleer : Me gustó mucho lo que has hecho, independientemente de que terminemos redescubriendo algo ya sabido, o detectando un asunto donde realmente se plantean interrogantes novedosos. La novedad me parece menos importante que la forma del procedimiento que has seguido. El cálculo te está mostrando que es absurda la idea de un campo infinito envolviendo al núcleo. ¡Pero nada encuentro que obligue a ponerle límite finito! Nada encuentro es distinto de nada existe. No hice las cuentas, pero no me extrañaría que la extensión al infinito implique, cuando hacemos el análisis dinámico, energía que sale del átomo hacia el exterior provocando el decaimiento del átomo. En ese caso podrías intentar un análisis dinámico y, cuando llegues a una instancia que lo permita, imponer la condición de no emisión. Más que imponerla, intentar averiguar qué se requiere para no emitir. Tal vez las ecuaciones te informen que la no emisión es posible, pero solamente para tamaños determinados de la envoltura. Es decir desde la clásica terminarías obteniendo una condición de tipo cuántico. Te animo a eso pues con mucha más sencillez se puede desde la clásica llegar a la cuantización de la radiación EM y avanzar por ahí bastante más allá del fotón mero. Sea como fuere, gracias. Tu mensaje me ha reconfortado mucho. Mi mejor saludo.
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Agregado 27/07/09
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Hola Metaleer. Estuve pensando un poco en lo siguiente. El electrón se mueve rápidamente alrededor del núcleo. Compáralo con la formación de imagen en un tubo de TV . El haz electrónico del tubo está bien colimado e ilumina solamente el punto de la pantalla donde incide, en un instante dado. Pero el barrido (desplazamiento del haz) es muy rápido y visualmente nos da la sensación de iluminar pareja y distribuidamente toda la pantalla. Piensa por ejemplo en un momento de interrupción de la programación, cuando se ve la pantalla sin imagen animada y está toda uniforme de un solo color. En ese momento el haz está barriendo como siempre, incidiendo e iluminando un punto por vez. Pero nuestra vista es lenta y vemos una iluminación pareja, distribuida en forma continua en toda la pantalla. Si la luz es energía, vemos una densidad continua de energía. Si nuestra vista pudiese ver carga eléctrica como ve la luz (ver los coulombs alojados en el espacio), alrededor del núcleo de hidrógeno vería un globo de carga distribuida en forma continua, es decir vería una densidad de carga. La integral de esa densidad en el volumen del globo sería igual a la carga del electrón. Estamos muy acostumbrados a calcular el valor medio de una función en una región del espacio y menos acostumbrados a calcular valores medios en 4 dimensiones. La apariencia de una densidad continua de luz en el televisor o de un globo de carga alrededor del núcleo son analizables en términos de promedios espaciotemporales, es decir lo que sucede en una región en un tiempo dado. Tú has hecho un cálculo estático, es decir que no incluye la variable tiempo. Y la densidad aparente de carga continua es una propiedad que no cambia con el tiempo. La geometría y las propiedades físicas del globo aparente alrededor del núcleo son constantes. Es decir el globo es apto para ser analizado estáticamente. Ese globo quita un obstáculo en tu camino, pues el teorema de Gauss te informa que, en términos del promedio espaciotemporal, no hay campo eléctrico para radios mayores que el radio del globo. Entonces todas las propiedades evaluables estáticamente (es decir todos los valores medios espaciotemporales) pertenecen a una esfera de tamaño finito, de modo tal que no hay posibilidad de extender la integral estática fuera del volumen finito mencionado. Lo importante en este punto de vista es recordar que el movimiento veloz de un punto, promediado en el espacio y en el tiempo, da lugar densidades medias que permiten aplicar el análisis estático y calcular integrales. La buena noticia es que conoces de antemano los resultados de algunas de esas integtales. Ya mencionamos la integración de la densidad media espaciotemporal de carga eléctrica, que debe dar la carga del electrón. Y la integración de la densidad de energía debe ser coherente con la masa del electrón en términos de $mC^2$ . ¿Con la masa del electrón...o con toda la masa del átomo? Si se pudiese vincular con toda la masa del átomo tendríamos un modelo que concibe al 100% de la masa de la materia como propiedad electromagnética, es decir concebir a la materia como una de las muchas configuraciones que el campo EM puede adoptar. Te comento esto pues creo sinceramente que tu inquietud de plantear ese cálculo es realmente valiosa. Has marcado la dirección de un camino que, según creo, puede ser viable y altamente interesante. Y en eso te estoy altamente agradecido. Mi mejor saludo.

[Metaleer]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Hola, chap.

Realmente no había planteado la posibilidad de engendrar un modelo electromagnético de la materia con este ejemplo. Pero es interesante lo que planteas, de todas formas.

La pregunta que realmente quería hacer al realizar todo esos cálculos es ver si el valor final que sale tiene algún significado físico, y si se puede tomar como la verdadera energía que está almacenada en el campo eléctrico creado por un electrón, habiendo "arreglado" de alguna manera el clásico problema de la integral divergente para el caso del electrón tomado como carga puntual.

Saludos.

[pod]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

La densidad de carga que has puesto no es más que el cuadrado de la función de onda del estado fundamental del átomo de hidrogeno,

$$\rho = -e |\psi(\vec r)|^2\ .$$

Si te das cuenta, la fórmula para la energía tiene las características de la Energía de Bohr del átomo de hidrogeno, $E \sim e^2/a$, donde a es el radio de Bohr. Las constantes fallan, por que te falta computar la energía cinética del electrón. Así, pues, lo que has calculado en principio es el valor esperado de la energía potencial,

$$E_\text{metaleer} = \big< \psi | V | \psi \big> \ .$$

Así que este "modelo de la materia" ya existe. Se llama ecuación de Schödinger

[Metaleer]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

La densidad de carga que has puesto no es más que el cuadrado de la función de onda del estado fundamental del átomo de hidrogeno,

$$\rho = -e |\psi(\vec r)|^2\ .$$

Si te das cuenta, la fórmula para la energía tiene las características de la Energía de Bohr del átomo de hidrogeno, $E \sim e^2/a$, donde a es el radio de Bohr. Las constantes fallan, por que te falta computar la energía cinética del electrón. Así, pues, lo que has calculado en principio es el valor esperado de la energía potencial,

$$E_\text{metaleer} = \big< \psi | V | \psi \big> \ .$$

Así que este "modelo de la materia" ya existe. Se llama ecuación de Schödinger

Vaya, he hecho Mecánica Cuántica sin darme cuenta.

Por cierto, no es mi energía (ya que veo que pusiste ese como subíndice), la densidad en sí la vi de una colección de problemas y eso, me puse a hacer cuentas. Pero vaya, ya veo qué es lo que hecho.

[pod]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Vaya, he hecho Mecánica Cuántica sin darme cuenta.

Por cierto, no es mi energía (ya que veo que pusiste ese como subíndice), la densidad en sí la vi de una colección de problemas y eso, me puse a hacer cuentas. Pero vaya, ya veo qué es lo que hecho.

Bueno, para rematarlo ahora podrías hacer el cálculo cuántico para comprobar si la predicción clásica es correcta.

[Metaleer]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Bueno, para rematarlo ahora podrías hacer el cálculo cuántico para comprobar si la predicción clásica es correcta.

Lo haré cuando sepa algo de Cuántica.

[pod]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Lo haré cuando sepa algo de Cuántica.

Ah, como no eres físico pero vas leyendo cosas por ahí a veces es difícil intuir lo que sabes y lo que no

El valor esperado del potencial se calcula con la integral

$$\big<V \big> = \int \dd r\ (-e^2) \frac{k}{r} |\psi|^2 \ .$$

Donde de mi mensaje anterior puedes sacar lo que es $\psi$.

Si quieres terminar y calcular la energía cinética para obtener la total,

$$\big<T \big> = -\frac{\hbar^2}{2m} \int \dd r\ \psi \frac{\dd^2 \psi}{\dd r^2} \ .$$

Creo que para comparar, tienes que hacer $k=1/4\pi\epsilon_0$ y, quizá, $\hbar = 1$.

[Metaleer]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Ah, como no eres físico pero vas leyendo cosas por ahí a veces es difícil intuir lo que sabes y lo que no

El valor esperado del potencial se calcula con la integral

$$\big<V \big> = \int \dd r\ (-e^2) \frac{k}{r} |\psi|^2 \ .$$

Donde de mi mensaje anterior puedes sacar lo que es $\psi$.

Si quieres terminar y calcular la energía cinética para obtener la total,

$$\big<T \big> = -\frac{\hbar^2}{2m} \int \dd r\ \psi \frac{\dd^2 \psi}{\dd r^2} \ .$$

Creo que para comparar, tienes que hacer $k=1/4\pi\epsilon_0$ y, quizá, $\hbar = 1$.

Bueno, yo intento aprender las cosas bien, pero ahora mismo en todo caso estoy más metido con ramas clásicas que la cuántica.

Ciertamente, ya veo que esas fórmulas salen en el Griffiths (este es el libro que usan en EE.UU para aprender Cuántica, a ver si también me vale a mi).

Ya haré esas cuentas, seguramente cuando vuelva de por ahí.

Saludos.

[polonio]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Ya haré esas cuentas, seguramente cuando vuelva de por ahí.

De eso, nada, chavalote. Te llevas los deberes y nos los traes hecho.

[Metaleer]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

*guarda la Texas Instruments 89 Titanium para llevársela*

Yo es que ya aprobé Cálculo y ya he demostrado que sé integrar, ahora que las haga esta máquina.

[pod]

Re: Densidad de carga de un electrón; energía

Hola.

Tu formula es incorrecta. A distancias grandes, el campo debe ir como $e/(4 \pi \epsilon_0 r^2)$.

¿Y no va así?