Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

[[Beto]]

Siempre me ha dado curiosidad este problema:

Si suponemos que ubicamos la cinta de Möbius en un campo eléctrico de magnitud $E_0$ ¿Cuál seria el flujo total del campo eléctrico a través de la superficie de la cinta?

Espero den sus respuestas sugerencias o comentarios

Pd: Por cierto una cinta de Möbius es la que esta en la siguiente figura

[carroza]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Yo diría que la respuesta es cero, independientemende de la distribución espacial del campo E(r).

La razón es que el vector normal a la superficie de la cinta de mobius tiene direcciones opuestas según pasamos por un punto dado de la cinta, por una "cara" y por la otra.

Para ver esto, trazariamos una linea "cortando" la cinta. la superficie de la cinta se obtiene sumando la contribucion S_1 que va desde la linea de corte, recorriendo la cinta por una "cara" hasta llegar de nuevo a la linea de corte, y la contribución S_2 correspondiente a la otra "cara"

Para cada elemento de area, el vector normal a la superficie en S_1 es opuesto al de S_2, con lo cual el flujo a lo largo de S_1 es opuesto al de S_2, sea cual fuere el campo
E(r)

[pod]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Es condición necesaria que la superfície sea orientable para definir el flujo? hmmm buena pregunta

[[Beto]]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Es condición necesaria que la superfície sea orientable para definir el flujo? hmmm buena pregunta

Pues segun yo creo es necesario conocer la orientacion del campo eléctrico con respecto a la banda de Möbius, pues si partimos de que:

$\Phi=\oint_S\vec E.d\vec S$

Se puede ver que son vectores y en ese caso interesaria tanto la orientacion de la banda con respecto al campo asi como la intensidad del campo.
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EDITO: En este caso la magnitud del campo es constante pero en todo caso habria que probar que al sumar todas las contribuciones de flujo ubicando a la banda de Möbius en una posicion arbitraria se obtiene cero (si es que esa es la respuesta).

[pod]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Pues esa es mi duda... Podemos definir el vector $d\vec{S}$ para una cinta de Möbius? Mi impresión es que no se puede definir, y por lo tanto la definición de flujo no es aplicable.

[[Beto]]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Pues esa es mi duda... Podemos definir el vector $d\vec{S}$ para una cinta de Möbius? Mi impresión es que no se puede definir, y por lo tanto la definición de flujo no es aplicable.

Pues yo habia pensado en eso y tengo entendido que para definir el vector $d\vec S$ es necesario tomar el vector unitario normal externo a la superficie pero en este caso especial ¿Cuál es la superficie externa? Creo que no se la puede encontrar.

[carroza]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Según tengo entendido, en una superficie cerrada, el vector $d \vec S$ se toma dirigido hacia el exterior. Así, el teorema de Gauss relaciona las cargas en el interior de la superficie con el flujo del campo, donde $d \vec S$ se toma hacia el exterior.

En una superficie abierta, es cuestión de convenio (o de imaginarse a qué superficie cerrada pertenece la superficie abierta) hacia dónde se toma $d \vec S$, en un elemento determinado de la superficie. Lo que sí hay que hacer, para una superficie continua, es tomar $d \vec S$ de forma que varíe sin discontinuidades, conforme se pasa de un elemento de superficie a otro.

Para el cambio de la cinta de Mobius, si variamos el elemento de superficie de forma continua a lo largo de la banda, $d \vec S$ cambia de signo cuando volvemos al punto de partida, tras dar una vuelta. Por tanto, necesitamos dos vueltas para poder asignar $d \vec S$ de forma continua a toda la superficie. Por ello, en un punto dado $d \vec S$ tiene dos valores opuestos, correspondientes a las dos vueltas que hay que dar, o a las dos "caras" de la banda.

Topológicamente, creo que podemos imaginarnos la banda de mobius como un toro aplastado de forma peculiar, girando 180 grados la direccion de aplastamiento, conforme recorremos el toro. En el toro, $d \vec S$ va hacia fuera siempre.
En el toro aplastado, hay dos valores de $d \vec S$ en direcciones opuestas, en cada punto.

Con esa imagen de toro aplastado, el flujo es cero, por el teorema de Gauss (no caben cargas en un toro aplastado).

[pod]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Primero, [text]d\vec{S}[/tex] no puede ser unitario ya que es un diferencial! Un diferencial siempre es mucho menor que la unidad

Segundo... La imagen de toro aplastado es buena. Es como imaginarse que la banda no es en realidad una superfície, sino un volumen muy estrecho. Es un ejemplo de como hacer las cosas como un "paso al límite".Sin embargo, esto no es lo que es en realidad la banda de Möbius; es una simple superfície. En el limite estricto de que sea una superficie de volumen cero, no es posible definir una orientación, por lo que simplemente no se puede calcular el flujo. Simplemente no está definido.

Así, pues, heurísticamente si que sería válido el paso al límite (seguramente los físicos nos conformaríamos con eso ), pero siendo totalmente estrictos, el flujo no puede definirse.

[carroza]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

Primero, [text]d\vec{S}[/tex] no puede ser unitario ya que es un diferencial! Un diferencial siempre es mucho menor que la unidad

Segundo... La imagen de toro aplastado es buena. Es como imaginarse que la banda no es en realidad una superfície, sino un volumen muy estrecho. Es un ejemplo de como hacer las cosas como un "paso al límite".Sin embargo, esto no es lo que es en realidad la banda de Möbius; es una simple superfície. En el limite estricto de que sea una superficie de volumen cero, no es posible definir una orientación, por lo que simplemente no se puede calcular el flujo. Simplemente no está definido.

Así, pues, heurísticamente si que sería válido el paso al límite (seguramente los físicos nos conformaríamos con eso ), pero siendo totalmente estrictos, el flujo no puede definirse.

Es interesante cuando, en algún debate, la "física" da una solución, pero la "matemática" da otra. Los físicos, obviamente, preferimos la primera.

Volviendo a la banda de Mobius, la cuestión, para un físico, es (en mi opinión):
En un sistema real, que pueda aproximarse por una banda de mobius, cuál sería
el flujo de un campo eléctrico. En este caso, es obvio que el flujo es una cantidad fisica, perfectamente definida. Otra cuestión es que afirmemos, a priori, que la banda de mobius no es una aproximación a ningún sistema real.

Un sistema real, que se aproxima por una banda de mobius es un toro aplastado.
El flujo del campo electrico, en ese caso, está relacionado con la carga encerrada en el toro.

Otro sistema podria ser un hilo (conductor), definido por el borde de la banda de Mobius (notese que la banda de mobius tiene un único borde, y no dos).
En este caso, la variación del flujo en la supeficie de la banda de mobius debe estar relacionada con la corriente generada en el hilo.

Total, que objeto fuertemente a la idea de que una magnitud física "no puede definirse" en un sistema real.

[[Beto]]

Re: Flujo eléctrico en una Cinta de Möbius

He estado leyedo todas las aportacion que me han dado tanto Pod como Carroza, y veo que el problema se presenta cuando la carga está contenida en la banda de Möbius, pero en el caso en que la banda no contenga carga por ejemplo cuando ubiquemos a la banda en un campo eléctrico de magnitud constante (esto para mantener la condición del problema e campo electrico constante) obviamente el flujo electrico sería nulo ¿O me equivoco? y bueno para el primer caso aun no se me ocurre nada nuevo asi que veamos a que conclusion llegariamos finalmente.

Saludos