2o ciclo Solución de Potencial

[jorgext]

Hola a todos,

Necesito ayuda para resolver este problema, consiste en una esfera de radio interno $a$, que tiene el potencial especificado sobre su superficie por $\Phi = V(\theta,\varphi)$, debo demostrar estas dos formas de solución son equivalentes:

$\Phi (\vec x) = \dfrac{a(a^2-r^2)}{4\pi} \int \dfrac{V(\theta',\varphi')}{(r^2+a^2-2ar\cos{\gamma})^{3/2}}d\Omega'$

donde:

$\cos{\gamma} = \cos{\theta}\cos{\theta'}+\sin{\theta}\sin{\theta'}\cos{(\varphi-\varphi')}$

y

$\Phi (\vec x) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^l A_{lm} (\dfrac{r}{a})^l Y_{lm}(\theta,\varphi)$

donde:

$A_{lm}=\int Y_{lm}^*(\theta',\varphi') V(\theta',\varphi')d\Omega'$

Lo que he hecho:
Transformé la primera ecuación en:

$\Phi (\vec x) = \dfrac{a(a^2-r^2)}{4\pi} \int \dfrac{V(\theta',\varphi')}{\|{\vec{r}-\vec{r}'}\|^{3/2}}d\Omega'$

Usando la expansión de Green:

$\dfrac{1}{\|\vec{r}-\vec{r}'\|}=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \dfrac{1}{2l+1} r^l Y_{lm}^{*}(\theta',\varphi') Y_{lm}(\theta,\varphi)$

La primera solución se convierte en algo parecida a la segunda, pero no se cómo seguir para demostrar que son iguales.

Por favor, ideas!

Saludos cordiales,

Jorge.

[pod]

Re: Solución de Potencial

¿No te sirve lo típico de hacer el "producto escalar" para encontrar los coeficientes A? Es decir, algo del tipo

$$A_{lm}(r) = \big<l m | \phi \big> = \int \dd\Omega \ Y_{lm}^*(\theta, \varphi) \phi(\vec x) \ .$$

[jorgext]

Re: Solución de Potencial

¿No te sirve lo típico de hacer el "producto escalar" para encontrar los coeficientes A? Es decir, algo del tipo

$$A_{lm}(r) = \big<l m | \phi \big> = \int \dd\Omega \ Y_{lm}^*(\theta, \varphi) \phi(\vec x) \ .$$

¿Podrías explicarme un poco más por favor?

[pod]

Re: Solución de Potencial

Recuerda que las funciones son como vectores, pero de dimensión infinita. Una base de las funciones angulares son precisamente los armónicos esféricos. De ahí a que exista una relación de ortonormalidad,

$$\int\!\!\dd\Omega\ Y_{l'm'}^* Y_{lm} = \delta_{l' l} \delta_{m' m}\ .$$

Eso significa que la parte angular de cualquier función se puede escribir como una combinación lineal de la base,

$$\Phi = \sum_{l m} C_{l,m} Y_{l,m}\ .$$

Si además, la función depende del radio (no sólo de los ángulos), entonces el coeficiente dependerá del radio.

Como en los vectores normales, podemos saber cual será el coeficiente simplemente aplicando un producto escalar,

$$C_{l,m} = \int\!\!\dd\Omega\ Y_{l,m}^* \Phi\ .$$

Si usas la relación de ortonormalidad, verás que esto se cumple.

Usando esto, te quedarán los coeficientes en función de dos integrales. Para completar la demostración, tendrás que buscar la forma de hacer una de las integrales. Se supone que te tiene que dar $C_{l,m} = A_{l,m} (r/a)^l$.

[jorgext]

Re: Solución de Potencial

Ya lo he resuelto!... exactamente, como dices he hecho uso de la propiedad que mencionas, sin embargo, se necesitan aplicar otras propiedades.... Si tengo tiempo durante la semana, hago un documento con el trabajo completo.

Saludos cordiales.

[pod]

Re: Solución de Potencial

Ya lo he resuelto!... exactamente, como dices he hecho uso de la propiedad que mencionas, sin embargo, se necesitan aplicar otras propiedades.... Si tengo tiempo durante la semana, hago un documento con el trabajo completo.

Saludos cordiales.

Genial