1r ciclo Campo electrico en un cono

[Hardy el paradojico]

Hola! soy nuevo en el foro

no se como seguir en este problema

se tiene una distribucion de carga homogénea p(ro) en el volumen de un cono de altura h y radio de la base R. Calcular el campo electrico en el vertice del cono.

LLego a esto en coordenadas cilindricas
$\vec{E} = \frac{ \rho}{2 \epsilon_0} \int_0^h \int_0^R \frac{\ Rdrhdh }{(h^2+R^2)^{3/2}}\hat u_z \mathrm$

el problema es que ahora no se como hacer la doble integral esa, ya que las variables estan sumando no multiplicando ( no tengo idea de mates )

un saludo y gracias

[pod]

Re: Campo electrico en un cono

Primero, los límites los tienes mal puestos. Tal y como los tienes ahora, estás integrando un cilindro, no un cono

Segundo, si integras primero h, la vida te será mucho más fácil, por que es una integral inmediata (gracias a que el h que tienes en el numerador es justo la derivada del $h^2$). Eso sí, necesitarás escribir bien los límites; el límite de integración de h debe depender de r, obviamente.

Postea de nuevo si sigues encallado.

[Hardy el paradojico]

Re: Campo electrico en un cono

Hola , y gracias!,
no he tenido mucho tiempo de pensarlo ultimamente, he estado muy ocupado
el limite de integracion será de 0 a $(h^2+r^2)^1/2$?

el problema es que aun asi la solucion que tengo del problema no coincide con la mia

un saludo

[pod]

Re: Campo electrico en un cono

Bueno, necesitas la función que define el cono en cilíndricas. Será algo del estilo z = a r, donde esa a estará relacionada con la tangente o cotangente del ángulo de apertura del cono.

[electr0n]

Re: Campo electrico en un cono

Estos problemas de campo eléctrico tienen su dificultad, especialmente a la hora de hacer las integrales. Si no me he equivocado, las componentes x e y del campo resultan 0, mientras que la z queda:

$<br /> \displaystyle E_z = \frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\int_{z=0}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\frac{R}{h}(h-z)}\frac{r\cdot (h-z)}{[ r^2+(h-z)^2 ]^{3/2}}\cdot dr dz d\varphi<br />$

porque el cubo de la distancia que aparece en el denominador se refiere a la distancia entre cada elemento de carga $dq$ y el vértice.

Llevo un rato mirándola y no parece que sea una integral convergente. Hay que seguir dándole vueltas...

---------

Uf, creo que por fin lo he conseguido con ayuda de los límites. Obtengo ésto:

$<br /> \displaystyle E_z = \frac{\rho}{\epsilon_0}\left(\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}-1\right)<br />$

Llevo un par de días un poco espeso. A ver si alguien lo mira y puede corroborar mi resultado

Saludos

PD: ¿Hardy, qué resultado tienes tú?

[Hardy el paradojico]

Re: Campo electrico en un cono

gracias electr0n,

A ver los vectores son
$\vec{r} = h \hat u_z$

$\vec{r '}= x \hat u_x + y \hat u_y +z \hat u_z$



pasamos a cilindricas
$(r , \phi , z)$

$\vec{r} - \vec{r '} = - r(cos \phi \hat u_x + sen \phi \hat u_y ) + (h-z) \hat u_z$

$<br /> | \vec{r} - \vec{r '}| = [r^2 + (h-z)^2 ]^{1/2}$

como con estos vectores estoy teniendo en cuenta que es un cilindro , tengo ahora que tener en cuenta que es un cono y no un cilindro para ello tengo que establecer la integral de la coordenada r de 0 , a lo que dijo Pod, una función de la forma z = ar, ( esta es la parte en donde empiezo a hacer el desastre )

despejo $r$ , con lo cual $r= \frac{z}{a}$ donde a es el arcotg del ángulo de apertura del cono

con lo cual $a= \frac{h}{r}$ y $r = \frac{R}{h} . z$

ahora deberemos integrar la coordenada r de r=0 a $r = \frac{R}{h} . z$ ??

electr0n tu pusiste que era desde $r=0$ a$r = \frac{R}{h} . (h-z)$ seguro que este es el limite correcto , pero no consigo razonarlo, lo unico que se me ocurre es que se refiera a la componente z del campo que si es ( h-z) y no a simplemente z como dije en mi razonamiento, aunque tampoco creo que pueda llamarse así lo que hice

la integral la hice desde r=0 a $r = \frac{R}{h} . z$ y es tan feo el resultado que es fisicamente imposible , seguro

la solucion correcta al parecer es

$<br /> \vec{E_z} = \frac{\rho h}{2 \epsilon_0}\left(- \frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}} + 1\right) \hat u_z<br />$

un saludo y gracias de nuevo

[electr0n]

Re: Campo electrico en un cono

Hola de nuevo!

Como hice los cálculos a las tantas de la noche entre el Mathematica y el papel, cometí algún error y ya lo he subsanado.

El planteamiento que haces es correcto, aunque yo cambiaría la "r" de las coordenadas cilíndricas por otra (llamémosla "s") para no confundir con el módulo del vector $\vec r$. Recordemos que "s" es la distancia del elemento dV al eje z. Añado un dibujo donde he puesto todos los parámetros a considerar:



Está claro que las integrales para las componentes x e y del campo resultan 0 porque hay un término $sen\varphi$ o $cos\varphi$ integrado a toda una vuelta en el plano horizontal. Ahora estamos de acuerdo en que la componente z queda:

$<br /> \displaystyle E_z = \frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\int_{z=0}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{s=0}^{s_{max}}\frac{s\cdot (h-z)}{[ s^2+(h-z)^2 ]^{3/2}}\cdot ds dz d\varphi<br />$

La integral en $\varphi$es independiente y resulta $2\pi$, que añadiremos luego.

Ahora nos fijamos en la integral en s; bien, piensa en un plano horizontal cualquiera definido por la altura z del elemento de volumen dV. Fijada z, la distancia s aumentará desde 0 hasta $s_{max}$ conforme integramos (sumamos) todos los diferenciales de volumen que hay a dicha altura z. Geométricamente, es fácil ver que la tangente del ángulo $\alpha$ nos da una relación directa con $s_{max}$:

$<br /> \displaystyle tg \alpha = \frac{R}{h} = \frac{s_{max}}{h-z}<br />$

lo cual no es más que una relación de semejanza entre triángulos. Por tanto, $\displaystyle s_{max}= \frac{R}{h}(h-z)$.

La integral en s resulta:

$<br /> \displaystyle \int \frac{s\cdot (h-z)}{[ s^2+(h-z)^2 ]^{3/2}} ds = -\frac{h-z}{\sqrt{s^2+(h-z)^2}}<br />$

que, evaluada entre los dos límites, resulta una constante:

$\displaystyle \int_{s=0}^{\frac{R}{h}(h-z)}\frac{s\cdot (h-z)}{[ s^2+(h-z)^2 ]^{3/2}} ds = -\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}-(-1) = 1-\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}$

Como esta integración da lugar a una constante, la integral en z que nos falta es trivial:

$<br /> \displaystyle \int_{z=0}^h dz = h<br />$

Finalmente, reunimos las 3 integraciones y queda:

$<br /> \displaystyle E_z = \frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\cdot 2\pi\cdot h\cdot \left(1-\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}\right) = \frac{\rho h}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}\right)<br />$

es decir, ¡el resultado que esperábamos!

Espero haberlo explicado claramente.

Un saludo

[Hardy el paradojico]

Re: Campo electrico en un cono

mil gracias electr0n muy bien explicado todo

un saludo

[ferne17]

Re: Campo electrico en un cono

Hola, sé que el post es antiguo, pero quería preguntar para ver si alguien me puede ayudar sobre que pasaría si el cono es hueco, es decir tiene densidad superficial, como cambiarían mis integrales, pues no logro comprender como delimitar mis integrales y que diferenciales usar, sé que se deberá usar el diferencial del angulo para que gire y el diferencial de la altura para que suba, pero cual es la relación de dependencia entre el radio y la altura, ojalá me puedan ayudar.

[Eludio]

Re: Campo electrico en un cono

Hola, sé que el post es antiguo, pero quería preguntar para ver si alguien me puede ayudar sobre que pasaría si el cono es hueco, es decir tiene densidad superficial, como cambiarían mis integrales, pues no logro comprender como delimitar mis integrales y que diferenciales usar, sé que se deberá usar el diferencial del angulo para que gire y el diferencial de la altura para que suba, pero cual es la relación de dependencia entre el radio y la altura, ojalá me puedan ayudar.

Es un post antiguo, pero por si alguien lee tu pregunta, he aquí mi respuesta:
(he llegado a este hilo picando en la imagen correspondiente de "Contenido relacionado" desde otro hilo)

Si el cono solo tiene carga superficial, hay dos casos separados: La superficie cónica y la superficie de la base. Las calculas por separado y sumas las contribuciones al final. La base no tiene dificultad. Para la superficie cónica, el planteamiento sería como la maciza pero el radio a cada altura es constante, por lo que no se integra sobre el radio. El radio lo expresas como una función de la altura:

$s=\dfrac{R}{h}\left(h-z\right)$

[Al2000]

Si no recuerdo mal, el cálculo del campo en el vértice de una superficie cónica uniformemente cargada resulta en una integral que no converge. Pero ejerciten un sano escepticismo y calcúlenlo...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Eludio]

Cierto, para que converja habría que tener el cono truncado (sin punta) y medir el campo dónde debería estar la punta, pera ya no es exactamente lo mismo...