Otras carreras duda en problema

[dmadrid]

Hola, necesito ayuda con este problema:

Sea una carga anular de 5nC y radio 10mm. Una particula de masa 1g y carga 5nC se situa en el eje del anillo a una distancia de 1 cm del centro y se deja en libertad. Calcular la velocidad de la particula cuando se encuentra a gran distancia del anillo.

Alguien me puede ayudar con esto, me lia mucho el enunciado. gracias y un saludo

[pod]

Re: duda en problema

Lo más sencillo es utilizar la conservación de la energía: la energía cinética final será igual a la energía potencial eléctrica inicial. Así que sólo necesitas calcular dicha energía potencial.

[electr0n]

Re: duda ejercicio

Es chulo el problemita.

Tienes que calcular el campo eléctrico creado por una carga anular en su eje y con él hallar la fuerza de repulsión que ejerce sobre la partícula:

$\displaystyle E(z)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{z}{(z^2+R^2)^{3/2}}$

$F(z)=q\cdot E(z)$

Después, el método formal consiste en aplicar la ley de Newton e integrar:

$\displaystyle F=q\cdot E(z)=m\cdot a(z)\Rightarrow a(z)=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0m}\frac{z}{(z^2+R^2)^{3/2}}$

$\displaystyle a(z)=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dz}\frac{dz}{dt}=v\frac{dv}{dz}$

$\displaystyle\frac{v^2}{2}=-\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0m}\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}+C$

$\displaystyle v(z=z_0)=0\Rightarrow C=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0m}\frac{1}{\sqrt{z_0^2+R^2}}$

El resultado que se obtiene es:

$\displaystyle v(z)=\sqrt{\frac{qQ}{2\pi\epsilon_0m}}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{z_0^2+R^2}}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}}$

$\boxed{\displaystyle v_{\infty}=\sqrt{\frac{qQ}{2\pi\epsilon_0m}}(z_0^2+R^2)^{-\frac{1}{4}}}$

donde Q es la carga del anillo, q es la carga de la partícula, m su masa y $z_0$ la posición inicial en el eje respecto del centro del anillo. La velocidad aumenta asintóticamente hasta que en el "infinito" (región muy alejada), la aceleración tiende a 0 y la velocidad se hace constante.



El método que comenta pod es todavía más rápido y sale lo mismo:

$E_i=E_p+0$

$E_f=0+E_c$

$\displaystyle\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{z_0^2+R^2}}=\frac{1}{2}mv_{\infty}^2$

$\displaystyle v_{\infty}=\sqrt{\frac{qQ}{2\pi\epsilon_0m}}(z_0^2+R^2)^{-\frac{1}{4}}$

Saludos

PD: Se agradecería que quien planteó el problema dé señales de vida y nos comente si le sale o no :P

[dmadrid]

Re: duda en problema

hola, os agradezco las respuestas, no he podido conectarme porque he estado con la portabilidad de adsl por lo que acabo de ver las respuestas.
Voy a intentar resolver el problema con lo que me habeis puesto y os comento algo en cuanto lo tenga. un saludo

[dmadrid]

Re: duda en problema

Hola, no se si lo he entendido bien, he calculado la tension que ejerce el anillo sobre la carga anular. Despues calculo la energia potencial sobre al carga que se situa en el eje multiplicando la carga por V. Esto me da 22,5 * 10 e-6 eV.
¿como saco ahora la velocidad?, me imagino que tendre que tener de algun modo m/s.
gracias por vuestra ayuda.

[electr0n]

Re: duda en problema

Lo tienes desarrollado en dos cuentas al final de mi mensaje, con el método que te dijo pod:

- El potencial eléctrico V a lo largo del eje no es constante, sino que depende de z y de la posición inicial $z_0$.

- Luego lo multiplicas por la carga puntual q para hallar la enegía potencial (que también depende de z)

- Calculas el límite cuando z tiende a infinito.

- Igualas esta energía potencial a la energía cinética final de la partícula.

- Despejas v.

Como aconsejo siempre, escribe primero las ecuaciones y al final de todo, sustituyes por los valores numéricos.

Saludos

[dmadrid]

Re: duda en problema

leyendo tu respuesta todo parece muy facil, pero a mi no me sale, estoy bloqueado, ¿podrias desarrollarme la solucion para poder entenderlo?.gracias

[electr0n]

Re: duda en problema

A ver, hay 2 formas de resolver el problema (y las 2 las he desarrollado en el mensaje del otro día).

1) La forma complicada consiste en hallar el campo eléctrico en el eje debido a la carga anular, aplicar la 2ª ley de Newton para saber la fuerza de repulsión y la aceleración que sufre la carga puntual, y finalmente hallar la velocidad para posiciones muy alejadas en z. [por lo que veo, mejor dejamos este método aparcado].

2) La forma fácil va por energías. La carga puntual tiene en general energía cinética debido a su movimiento y energía potencial debida al campo eléctrico del anillo.

La energía cinética es, como sabes, $E_c=\displaystyle\frac{mv^2}{2}$.

La energía potencial se calcula mediante una integral: $\displaystyle E_p(z)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{anillo}{\frac{dQ}{r}}=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0r}$

donde $r=\sqrt{z^2+R^2}$ es un valor constante cuando fijamos la altura z para conocer el potencial.

Ahora particularizamos: cuando la colocamos a una distancia $z_0$ del centro del anillo, su velocidad es nula y por tanto sólo tiene energía potencial electrostática:

$E_{inicial}=E_p+0$

$\displaystyle E_p(z_0)=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0\sqrt{z_0^2+R^2}}$

Debido a la repulsión, la partícula cargada se acelera por el eje alejándose hacia el "infinito" (zonas muy, muy, pero que MUY lejos del anillo). Se va tan lejos que allí es como si el anillo no existiera, por lo que la energía potencial tiende a hacerse CERO y la partícula ya no sufre repulsión ni aceleración, y en ese caso su velocidad tiende a ser constante (como si fuera una nave espacial que se aleja tanto de un planeta que al final permanece con velocidad constante).

Si a esta velocidad terminal la llamamos "$v_{\infty}$", tenemos que en el infinito sólo hay energía cinética dada por:

$\displaystyle E_{final}=0+E_c=\frac{mv_{\infty}^2}{2}$

Ahora nos queda aplicar el principio de conservación de la energía, sabiendo que no hay rozamientos ni fuerzas externas adicionales:

$E_{inicial}=E_{final}\Rightarrow E_p(z_0)=E_c(\infty)$

$\displaystyle\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0\sqrt{z_0^2+R^2}}=\frac{mv_{\infty}^2}{2}$

Y de aquí despejamos directamente la velocidad que nos piden:

$\displaystyle v_{\infty}=\sqrt{\frac{qQ}{2\pi\epsilon_0m}}(z_0^2+R^2)^{-\frac{1}{4}}$

¿Qué tal ahora?

Saludos

[dmadrid]

Re: duda en problema

gracias,he comprendido el ejercicio, un saludo