1r ciclo F.Green ejercicio

[Morloc]

Hola amigos!


estaba buscando ayuda por internet para poder solucionar un problema y he dado con vosotros, la verdad es qu no sabia que habia un foro para fisicos


Necesito vuestra ayuda, resulta que tengo el siguiente problema que adjunto



Calcular la densidad de carga es facil....pero lo que no me sale es la funcion de green

¿podeis echarme un cable? es que no tengo ni idea de como hacerlo, una vez conocida es facil calcular lo que piden, pero necesito saber lo de Green encilindricas, si alguein me echa uncable se lo agradeceria muchisimo



muchas gracias

[pod]

Re: F.Green ejercicio

Las funciones de Green son un método muy potente para resolver ecuaciones diferenciales. En este caso, te lo están dando casi todo. Por lo menos la parte más complicada, te están diciendo que uses funciones de Bessel.

La función de Green cumple la siguiente ecuación,

$$\begin{aligned}<br /> \left[ \frac1\rho \frac\partial{\partial\rho} \left( \rho \frac{\partial}{\partial\rho} \right) + \frac1{\rho^2} \frac{\partial^2}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right] G(\rho, \rho'; \theta, \theta'; z, z') \\ \qquad= \frac1\rho \delta(\rho - \rho') \delta(\theta - \theta') \delta(z-z').<br /> \end{aligned}$$

Como siempre en estos casos, lo adecuado es hacer separación de variables. Como de costumbre, los términos angular y en z dan exponenciales. En este caso, las relaciones de clausura son

$$\begin{aligned}<br /> \frac1{2\pi} \sum_{m=-\infty}^\infty \eee{-i m \theta'} \eee{i m \theta} & = \delta(\theta- \theta') , \\<br /> \frac1{2\pi} \int \dd k \eee{- k z'} \eee{k z} & = \delta(k-k') .<br /> \end{aligned}$$

Y ahora te preguntarás, ¿para que sirven todas estas relaciones de Clausura? Pues muy sencillo, para obtener las deltas de Dirac. En resumidas cuentas, la fdG será algo que, una vez aplicado el laplaciano, te quedará el producto de las tres relaciones de cierre, y por lo tanto las deltas. No te olvides de aplicar las condiciones de contorno, esto simplifica bastante el problema (porque, en general, la función de green en cilíndricas es esta monstruosidad).

Inténtalo, si no te sale vuelve a preguntar.

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

gracias pod, voy a intentarlo con eso y con los apuntes, a ver si lo obtengo


en el libro de jackson aparece la funcion de Green, pero creo qe es mejor poner de donde sale y no plantarla directamente


gracias


Feliz Navidad

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

wenas,


estoy con el ejercicio, pero tengo la primera duda:

creo que sería así:

Cual es el motivo de que segun mi razonamiento (que no digo que sea correcto) de -4pi y en lo del profesor de 1/ ro?


Luego, creo que tendría que decir que buscamos soluciones del tipo seno para que las condiciones de contorno se cumplan (en la frontera el potencial es cero), no es asi?

pues ahí tambien me lio, en cartesianas quedaria algo de esta forma:

En cilindricas deberia cambiar las X y las Y por ro y el angulo fi?


Muchs gracias por la ayuda

[pod]

Re: F.Green ejercicio

Cual es el motivo de que segun mi razonamiento (que no digo que sea correcto) de -4pi y en lo del profesor de 1/ ro?

El factor $4\pi$ da un poco igual. Puedes ponerlo en la fdG o en el término inhomogeneo. De hecho, la forma más "pura" de hacerlo es precisamente en el término inhomogéneo de la ecuación.

El factor $1/\rho$ viene al cambiar de coordenadas las deltas de Dirac.

Luego, creo que tendría que decir que buscamos soluciones del tipo seno para que las condiciones de contorno se cumplan (en la frontera el potencial es cero), no es asi?

Claro. Al hacer la separación de coordenadas, puedes elegir el signo de la constante de separación. Lo normal es cogerlo positiva, y salen exponenciales en z. Pero si lo coges negativo, te salen exponenciales complejas, que se pueden expresar en términos de senos y cosenos (las condiciones de contorno te "machacan" el coseno). Además, este cambio de signo hará que te salgan funciones de Bessel tipo J, en vez de tipo I.

En cilindricas deberia cambiar las X y las Y por ro y el angulo fi?

Lo único que tienes que imponer sobre el ángulo es que las funciones no sean multivaluadas, lo que viene a querer decir que el índice m que puse es un entero (por eso tenemos suma en vez de integral).

Fíjate que las condiciones de contorno en z hacen que, en este problema en particular, también haya una suma, no una integral.

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

gracias, voy a ver hasta donde llego ahora

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

Buenas!!!


llevo lo siguiente del problema:

Mediante separación de variables tenemos:

Que sustituyendolo en la 1º ecuacion y operando tendríamos:

En términos de ka funcion ortonormal tenemos que:

Juntando ambas cosas (segun el libro de Jackson):

Aqui es donde me lio, esta última fórmula la he sacado también del libro de Jackson, entiendo que multiplica las dos deltas, pero el término g no se de donde lo saca ni su utilidad.

Después tenemos lo siguiente (segun el libro):

Pero según el enunciado de la hoja, eso sería:

Y aquí es donde ya no se continuar


Muchas gracais por la ayuda

[pod]

Re: F.Green ejercicio

Juntando ambas cosas (segun el libro de Jackson):

Aqui es donde me lio, esta última fórmula la he sacado también del libro de Jackson, entiendo que multiplica las dos deltas, pero el término g no se de donde lo saca ni su utilidad.

Es otra forma de hacer la separación de variables, el g es lo mismo que tu R.

Después tenemos lo siguiente (segun el libro):

Pero según el enunciado de la hoja, eso sería:

Y aquí es donde ya no se continuar


Muchas gracais por la ayuda

Está claro que g_m debe ser algo que, tras aplicar el operador diferencial, te sale justo esa integral para obtener la delta.

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

Gracias pod,

ahora que es lo que tengo que hacer para continuar con el problema?
Aqui ya no se por donde tirar hasta hayar la funcion de green


gracias

[pod]

Re: F.Green ejercicio

Gracias pod,

ahora que es lo que tengo que hacer para continuar con el problema?
Aqui ya no se por donde tirar hasta hayar la funcion de green


gracias

Resolver la ecuación para g Tendrás una función de Bessel en $\rho$.

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

ok, dices resolver esta diferencial




Una pregunta, la $\delta(\rho - \rho')$ como quedaria al hacer la integral con respecto a $\rho$?



gracais pod

[pod]

Re: F.Green ejercicio

Ahí es donde usas la pista que te dan. Fíjate que si pones algo del estilo

$$g_m = a J_m(k\rho) J_m(k\rho') ,$$

al aplicar la parte radial del laplaciano te volverá a quedar algo proporcional a las dos funciones de Bessel. Al integrarlo con el factor adecuado (tendrás que determinar a), según la pista que te dan, te saldrá precisamente las deltas.

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

este paso no se hacerlo

al igualar ambos terminos nos quedaria una ecuacion que tiene:

d$g_m$, d$\rho$ y dk

Necesito ayudas o sugerencias


Muchas gracias y Feliz 2010!!!

[pod]

Re: F.Green ejercicio

Mírate este documento: http://rmf.fciencias.unam.mx/pdf/rmf/39/5/39_5_785.pdf

Es un poco liado porque lo hace en varias coordenadas al a vez, pero creo que tiene todo lo que necesitas más o menos.

[Morloc]

Re: F.Green ejercicio

Hola pod, gracias por el articulo

he estado trabajando y me ha salido esta fun. de G:

Ahora me han entrado las dudas, para hallar la densidad de carga que pide en el problema que tengo de hacer a continuacion?




gracias