1r ciclo Calculo densidad de carga como divergencia de D

[darkxer0x]

Hola.
El problema es lo más sencillo del mundo: calcular la densidad de carga (p) en una esfera de radio a que tiene una carga $q_0$ distribuida uniformemente.

La solución más sencilla es (teniendo en cuenta que p va a ser constante):
$q_0 = \iiint p dV = p \iiint dV =\frac{p 4 \pi a^3}{3}$
Luego: $p = \displaystyle\frac{3 q_0}{4 \pi a^3}$


Vale, la cosa es que ahora intento calcular aplicando el teorema de la divergencia y que $p = \nabla \cdot{} \vec{D}$:
$\iiint p dV = \iint \nabla \cdot{} \vec{D} dS = D 4 \pi r^2$

Y aqui lo más gracioso:
Teniendo en cuenta que $\vec{D} (r) = \vec{D} (r)$
Y que la divergencia en esféricas es $\nabla \cdot{} \vec{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 A_r}{\partial r} + ...$

$p = \nabla \cdot{} \vec{D} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 D_r}{\partial r} = \mathbf{0}$

Es evidente que en la ultima parte hay algo mal. Lo más curioso es que los tipicos campos eléctricos (y por tanto D), son de la forma $\frac{1}{r^2}$ dependiendo solo de r. Y si hacemos $\nabla \cdot{} \vec{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2 A_r}{\partial r} + ...$ se anula...

Un salu2

[woodyalex]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

Bueno revisando el calculo el primer problema que veo es que la integral doble no es sobre la diergencia de D es sobre D, es decir es integral triple de divergencia de D y aplicanto Th. Gauss integral doble de D.
Ademas el operador Nabla en esfericas no es ese, ese es el operador Laplaciano....

[darkxer0x]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

Vale, es que me he comido el paso intermedio xD. Seria asi:
$\iiint p dV = \iiint \nabla \cdot{} \vec{D} dV = \iint D dS = D 4 \pi r^2$

Sobre el laplaciano, no. En el laplaciano derivas 2 veces, y yo solo derivo una. En cualquier caso te pongo el del laplaciano en esfericas:
$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial A_r}{\partial r}) + ...$

El de la divergencia es: $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r) + ...$

Salu2

[woodyalex]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

A ver el operador que tu pones es el laplaciano en esfericas...... para ayar la divergencia debes aplicar el operador Nabla a tu campo vectorial no el Laplaciano o biendolo mejor lo que pones es algo intermedio el operador nabla no lleva ese r^2 dentro de la derivada eso lo lleva el Laplaciano
Puedes consultar esta pagina para ver la expresión correcta del operador Nabla http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla

[electr0n]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

Hola.

A ver, el primer error que veo es que el campo eléctrico "típico" no varía de la forma $\frac{1}{r^2}$ en la región que nos interesa, es decir, los puntos de la esfera. Desde r=0 hasta r=a el campo eléctrico creado por la distribución uniforme es lineal en r y tiene dirección radial:

$\displaystyle \vec E=\frac{q_0r}{4\pi\epsilon a^3}\hat r$

$\displaystyle \vec D=\epsilon\vec E=\frac{q_0r}{4\pi a^3}\hat r$

por lo que sólo dependen de la componente radial.

El operador es el que has puesto, ya que el laplaciano incluiría una derivada adicional de $D_r$; únicamente te falta ponerlo bien en LATEX con algún paréntesis más.

La divergencia en esféricas para el vector $\vec D$ que sólo tiene componente radial será:

$\displaystyle \vec\nabla\cdot\vec D=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}[r^2D(r)]=\frac{1}{r^2}\frac{3q_0r^2}{4\pi a^3}=\frac{3q_0}{4\pi a^3}$

Con este resultado ya podemos comprobar que está bien hecho así:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y ahora con el Tª divergencia:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$<br /> \displaystyle=\iint_S{\frac{q_0a}{4\pi a^3}dS}=\frac{q_0}{4\pi a^2}\iint_S{dS}=\frac{q_0}{4\pi a^2}4\pi a^2=q_0<br />$

Saludos

[pod]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

A ver el operador que tu pones es el laplaciano en esfericas...... para ayar la divergencia debes aplicar el operador Nabla a tu campo vectorial no el Laplaciano o biendolo mejor lo que pones es algo intermedio el operador nabla no lleva ese r^2 dentro de la derivada eso lo lleva el Laplaciano
Puedes consultar esta pagina para ver la expresión correcta del operador Nabla http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla

La expresión de DarkXer0x es correcta, mira por ejemplo aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Diverge...%C3%A1ticas%29

Poner la divergencia como un producto escalar es un truco nemotécnico, pero estrictamente sólo es cierto en coordenadas cartesianas.

[woodyalex]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

Cierto error mio lo siento

[darkxer0x]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

Muchas gracias electr0n. Mi cálculo era para puntos exteriores de la esfera, no interiores jeje.

Hola.

A ver, el primer error que veo es que el campo eléctrico "típico" no varía de la forma $\frac{1}{r^2}$ en la región que nos interesa, es decir, los puntos de la esfera. Desde r=0 hasta r=a el campo eléctrico creado por la distribución uniforme es lineal en r y tiene dirección radial:

$\displaystyle \vec E=\frac{q_0r}{4\pi\epsilon a^3}\hat r$

¿Como has sacado el campo eléctrico en el interior?
Yo lo saco pero a partir de la densidad de carga p..., que es lo que hay que calcular $\vec{E} = \displaystyle \iiint_V K \displaystyle \frac{p}{r^2} dV = \frac{q_0r}{4\pi\epsilon a^3}\hat r$

[electr0n]

Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

Se puede hacer mediante integración directa:

$<br /> \displaystyle\vec E=K\iiint_V{\frac{p\hat R}{R^2}dV}<br />$

donde $\hat R$ es el vector unitario en la dirección desde cada $dV$ de la esfera hasta un punto genérico del espacio y $p$ es la densidad volumétrica de carga, que en este caso puede salir de la integral. Es recomendable escribir $\hat R$ en coordenadas esféricas, y luego comprobar que se hacen 0 las componentes angular y azimutal.

Saludos!