Vaciado de un cono

[alefriz]

Buenas,

A ver si me puede ayudar alguien con esto, porque me sale un resultado que no es posible y no se donde estoy equivocado:

Un recipiente en forma de cono hueco de altura $H$ y radio $R$, sin base y con el vértice hacia abajo, se llena de agua. En el vértice se hace un agujero circular muy pequeño, de radio la n-ésima parte del radio de la base del cono.

a) Calcular el tiempo transcurrido hasta que se vacia la mitad del volumen que contiene el recipiente.

b) ¿Cuánto tiene que valer $n$ para que la velocidad de salida por el orificio inferior, $v$, sea al menos 100 veces la velocidad de la superficie libre del líquido en el cono, $V$, cuando ya se ha vaciado la mitad del volumen? (Considerar H = 1 m)

[pod]

Re: Vaciado de un cono

Tras simplificar un montón de cosas (las presiones, las densidades, etc.) la ecuación de Bernuilli cuando el cono está lleno hasta una fracción $1 \ge x \ge 0$ se escribe

$$<br /> \frac12 v(x)^2+ g H x = \frac12 v_s^2\ ,<br />$$

La única simplificación que hago es que el agujero es tan pequeño que se puede considerar que el agua sale de altura cero. Ahora tienes la ecuación de continuidad,

$$<br /> G = \pi (x R)^2 v(x) = \pi \frac{R^2}{n^2} v_s \ .<br />$$

De aquí tenemos $v_s = (n x)^2 v$, que se puede usar para responder directamente al apartado (b): $n > 10 \sqrt[3]{2} \approx 13$ (el volumen crece como $x^3$).

Juntando lo que tenemos,

$$<br /> v(x) = \sqrt{\frac{2 g x H}{(nx)^4-1}} \ .<br />$$

Esto estará bien definido siempre que $x > 1/n$, lo cual es bastante razonable.
El ritmo de pérdida de volumen de agua es el caudal,

$$<br /> G = - \frac{\dd V}{\dd t}\ ,<br />$$

o bien,

$$<br /> \dd t = - \frac{\dd V}{G} = -\frac{\dd V}{\pi R^2 x^2} \sqrt{\frac{(nx)^4-1}{2 g x H}}\ .<br />$$

donde $\dd V = \pi x^2 R^2H \dd x$. Ahora sólo te queda intentar integrar esto... que no se si se puede. La integral a resolver sería

$$<br /> t = \sqrt{\frac{H}{2g}} \int_{1/\sqrt[3]{2}}^1 \dd x \sqrt{\frac{(nx)^4-1}{x}}<br />$$

Para n suficientemente grande, el integrando está definido. Así que esta integral debería poderse hacer, por lo menos, numéricamente. A mi me sale 29.66 para n = 13. Como se suele decir, salvo error u omisión...