Fluidos...

[ODZs]

Hola, tengo una dudas para resolver el siguiente problema: Un recipiente cilindrico de radio R contiene un volumen V de líquido de densidad p. a) que presion habra en el fondo? b) que presión habra en el fondo si el recipiente gira uniformemente con una velocidad angular w?

[balik]

Re: Fluidos...

Eso dependera de si el recipiente esta cerrado o no .
Si esta cerrado , solo sera la manometrica = pgh
V= πr²h
h=V/πr²
si esta abierto , se le suma a la presion manometrica , la presion atmosferica , P.

Si el recipiente gira con una velocidad angular W , como esta es uniforme, y perpendicular al peso del liquido , la presion debe ser la misma .

[alefriz]

Re: Fluidos...

Eso dependera de si el recipiente esta cerrado o no .
Si esta cerrado , solo sera la manometrica = pgh
V= πr²h
h=V/πr²
si esta abierto , se le suma a la presion manometrica , la presion atmosferica , P.

Si el recipiente gira con una velocidad angular W , como esta es uniforme, y perpendicular al peso del liquido , la presion debe ser la misma .

Así es.

Sólo puntualizar que en (a) la presión en cada punto del fondo del recipiente es constante, por ser una superficie equipotencial paralela a la base del cilindro ($p = \rho g \frac{V}{\pi R^2}$).

En cambio en (b), la energía potencial cambia debido a la rotación y por lo tanto la superficie también, siendo ahora un paraboloide de revolución de eje, el eje del cilindro. Si tomamos como $z_o$ la distancia del fondo al vértice del paraboloide medido sobre el eje de rotación, tenemos que:

$g z - \frac{w^2 r^2}{2} = g z_o \rightarrow z = z_o +\frac{w^2 r^2}{2 g}$ (1)

Vemos que la altura del líquido respecto al fondo ($z$) aumenta según va aumentando el radio ($0 < r < R$). El valor de $z_o$ se calcula imponiendo que el volumen de líquido en esta situación (girando) es igual al inicial.

$V = {\int_0}^R {\int_0}^{2 \pi} (z_o +\frac{w^2 r^2}{2 g}) r dr d \theta = \cdot \cdot \cdot = \pi (z_o R^2 + \frac{w^2 R^4}{4 g})$

$z_o = \frac{V}{\pi R^2}- \frac{w^2 R^2}{4 g}$

Entrando en (1):

$p = \rho g z = \rho g (\frac{V}{\pi R^2}- \frac{w^2 R^2}{4 g}+\frac{w^2 r^2}{2 g})$

[pod]

Re: Fluidos...

Así es.

Sólo puntualizar que en (a) la presión en cada punto del fondo del recipiente es constante, por ser una superficie equipotencial paralela a la base del cilindro ($p = \rho g \frac{V}{\pi R^2}$).

En cambio en (b), la energía potencial cambia debido a la rotación y por lo tanto la superficie también, siendo ahora un paraboloide de revolución de eje, el eje del cilindro. Si tomamos como $z_o$ la distancia del fondo al vértice del paraboloide medido sobre el eje de rotación, tenemos que:

$g z - \frac{w^2 r^2}{2} = g z_o \rightarrow z = z_o +\frac{w^2 r^2}{2 g}$ (1)

Vemos que la altura del líquido respecto al fondo ($z$) aumenta según va aumentando el radio ($0 < r < R$). El valor de $z_o$ se calcula imponiendo que el volumen de líquido en esta situación (girando) es igual al inicial.

$V = {\int_0}^R {\int_0}^{2 \pi} (z_o +\frac{w^2 r^2}{2 g}) r dr d \theta = \cdot \cdot \cdot = \pi (z_o R^2 + \frac{w^2 R^4}{4 g})$

$z_o = \frac{V}{\pi R^2}- \frac{w^2 R^2}{4 g}$

Entrando en (1):

$p = \rho g z = \rho g (\frac{V}{\pi R^2}- \frac{w^2 R^2}{4 g}+\frac{w^2 r^2}{2 g})$

Eso suponiendo que hay interfaz aire-agua. ¿Que pasa si el cilindro está cerrado y está completamente lleno?

[carroza]

Re: Fluidos...

Eso suponiendo que hay interfaz aire-agua. ¿Que pasa si el cilindro está cerrado y está completamente lleno?

Entonces necesitas conocer la presion en un punto de referencia dentro del cilindro (puesto que lo has podido apretar de mas, o dejar en vacio). Si en ese punto, que corresponde a r=0, h=0, la presion es $P_0$, entonces

$P(r,h) = P_0 + \rho g h + 1/2 \rho w^2 r^2$

(se entiende que h la medimos hacia abajo; h=0 es la parte superior del cilindro)

[lego]

Re: Fluidos...

Hola, no estoy de acuerdo con balik ni alefriz, pero sí con carroza.

No estoy de acuerdo con balik y alefriz porque yo puedo hacer que $z_0$ sea 0 si giro a velocidad angular muy grande, y podría hacer un agujero en el centro del fondo del cilindro sin que saliera agua. Por lo tanto, en este caso, la presión debe ser la atmosférica, no más. Me equivoco?