tiempo de vaciado de un recipiente

[candexis]

[FONT=Verdana]Hola, en este enlace http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm#Actividades encontré la fórmula para calcular el tiempo de vaciado de un recipiente donde dice que T = (S1/S2)Sqrt((2h/g)) donde S1 es el área total del recipiente, S2 es el área del orificio, h es la altura del líquido en t = 0 y g es la gravedad, tengo dos preguntas:

1. Para el desarrollo de esta fórmula (Tiempo de vaciado T) el área del recipiente que utilizan es un cilindro. ¿Esta fórmula me serviría si el recipiente que yo voy a utilizar es un trapecio? y en este caso, ¿S1 sería el área del trapecio?

2. En esta fórmula el tiempo de vaciado no depende directamente de la viscosidad del liquido, entonces si yo utilizo un aceite que tiene determinada viscosidad esta formula me serviría, o en otras palabras el tiempo de vaciado de un recipiente depende de la viscosidad del líquido a utilizar.

Gracias[/FONT]

[[Beto]]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

[FONT=Comic Sans MS]Hola, con respecto a tus preguntas:
[/FONT]

1. [FONT=Comic Sans MS]Es correcto si el área es un trapecio tienes que usar el área del trapecio.[/FONT]
2. [FONT=Comic Sans MS]Tienes que tener en cuenta que para esa fórmula se asume que el fluido no posee viscosidad, es decir es un fluido ideal; si es que considerarías la viscosidad obviamente el tiempo de vaciado seria mayor.[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]Un saludo.[/FONT]

[Metaleer]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

1. En ese caso, necesitarías expresar el área como función de la altura e integrar de nuevo la ecuación diferencial nueva que obtienes.

2. Si el fluido fuera viscoso (como suele ser el caso real) teóricamente la ec. de Bernouilli no te sirve ya que ésta deriva de la ecuación de Euler para el caso ideal: sin viscosidad, régimen estacionario, irrotacional (vorticidad nula), e incompresible (densidad constante). No obstante, si las paredes del recipiente están suficientemente alejadas, la viscosidad en la mayoría de los casos suele considerarse despreciable y al usar la ec. de Bernouilli no cometes mucho error. Por otra parte, como el diámetro del orificio de salida sí tiene, me imagino, un diámetro relativamente pequeño, los efectos de la viscosidad suelen ser más notables, por lo que ahí lo que se suele hacer para tener en cuenta este hecho es decir que la velocidad de salida es $v = c\sqrt{2gh}$ donde $0 < c \leq 1$, donde para $c = 1$ tenemos el caso ideal de fluido no viscoso. Los valores menores de c indican una viscosidad mayor; una aproximación buena para muchos casos suele ser un valor de $c$ en torno a $0,61$, pero depende del fluido y el tipo de orificio, si no recuerdo mal.

No estoy muy seguro cómo depende $c$ de $\displaystyle \eta$ (viscosidad), pero supongamos que al menos en primera aproximación, $c$ es proporcional a $\displaystyle \frac{1}{\eta}$ (a mayor viscosidad, $c$ es menor en valor):

$\displaystyle c \propto \frac{1}{\eta}$

por lo que tendremos

$\displaystyle c = k \frac{1}{\eta}$

donde $k$ es una constante de proporcionalidad, que se determina experimentalmente por ejemplo, caso de que el modelo que esté proponiendo prediga de forma adecuada la relación entre $c$ y $\eta$. Espero haberte ayudado.

Saludos.

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Hola Mataleer, muchas gracias por tu aclaracion, pues en realidad tengo dudas en tu sugerencia para la pregunta 1, serias tan amable de explicarme como calcular la ecuacion diferencial para que quede en funcion de la altura (trapecio) para realizar la integracion. En cuanto al punto dos el area S2 si es mucho menor que S1, ya que en este caso esta area es una valvula manul de bola de 5.08 cm de diametro. Gracias

[pod]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Un trapecio es una figura en 2 dimensiones, no tiene volumen. Supongo que te refieres a un prisma con base trapezoidal, en cuyo caso el volumen es simplemente base por altura. En cualquier caso, necesitamos más datos para poder ayudarte.

Y Metaleer, la fórmula que pusiste, $c\propto1/\eta$, ¿la has propuesto tú o la has visto en algún sitio? No me parece muy fiable, ya que con $\eta\to0$ deberías recobrar el caso idea.

[Metaleer]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Me quiero imaginar que candexis se refiere a una cosa tal que así:


(no a escala)

donde los laterales son trapecios, y las bases de arriba y abajo, con lados $L$ y $l$ respectivamente.

Si te fijas en la recta $1$, tenemos esta situación, con la base inferior sobre el eje de ordenadas y la altura marcada sobre el eje de abscisas:



Con un poco de esfuerzo, verás que cada sección que hacemos al contenedor con planos paralelos a las bases, nos salen secciones cuadradas, y el valor del lado de estos cuadrados va a ir variando con la altura; a altura el lado es $l$, a altura $H$, el lado es $L$. Por esta razón, vamos a buscar la ecuación de la recta $1$ en el sistema de referencia que he fijado, ya que nos sirve para ver el valor del lado en función de la altura. Teniendo en cuenta que esta recta pasa por $\displaystyle (0, \frac{l}{2})$ y $\displaystyle (H, \frac{L}{2})$, obtenemos que su ecuación es $\displaystyle y = \frac{L-l}{2H}h + \frac{l}{2}$. Como tenemos abajo otra recta simétrica, tenemos que finalmente el lado viene dado por $\displaystyle 2y = \frac{L-l}{H}h + l$. Como el área de un cuadrado de lado $a$ es $a^2$, tenemos que el área como función de la altura es $\displaystyle (\frac{L-l}{H}h + l)^2$, y ésta será la expresión del área que hay que usar en la ecuación diferencial y luego integrarla.

Ahora bien, si dices que en vez de ser un agujero circular tuvieras uno en forma de trapecio, hay que usar la fórmula del área de un trapecio, que en ese caso sí es constante.

pod: Pues es cierto. Esa fórmula la propuse yo, aunque creo recordar que vi una idea similar en un libro (no recuerdo cuál) donde trataban de análisis dimensional. ¿Puede ser que para el caso ideal $\eta = 0$ no tenga porqué cumplirse esa relación ya que sólo es válida para el caso de viscosidad no nula? A lo mejor hay un relación ya deducida, a ver si investigo un poco y la encuentro. Gracias por el aviso, no me di cuenta.

Saludos.

EDICION: he consultado con ciertas personas acerca de la relación entre $\eta$ y $c$, y han propuesto usar la
Ley de Poiseuille, suponiendo que es un agujer cilíndrico:

$\displaystyle v_{media}\pi r^2 = \frac{\pi r^4 \DeltaP}{8 \eta L}$

como $\displaystyle v_{media} = \frac{v_{max}}{2} = \frac{c\sqrt{2gh}}{2}$, igualamos y se puede despejar $c$. La diferencia de presión se puede relacionar con la altura del contenedor y la altura del cilindro, y ya lo tenemos.

¿Qué te parece, pod?

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Hola Gracias por tu ayuda, en realidad el problema que tengo que resolver es el siguiente. Tengo un Reductor el cual tiene como forma un trapecio (ver figura) a este reductor se llena de aceite para la lubricacion de sus engranajes, en la parte inferior de este reductor esta ubicada una valvula de drenaje de 2", la cual se utiliza para drenar dicho aceite, la pregunta es calcular el tiempo en que se demora en vaciar el aceite a diferentes apertura de la valvula? el procediemto que segui es el siguiente:

de acuerdo a la ecuacion del enlace que adjunte en el hilo anterior ese tiempo es t = (A1/A2)sqrt(2h/g), donde A1 seria el area del trapecio (Basexaltura/2) y A2 es el area de la valvula de drenaje la cual depende del porcentaje de apertura (valvula.JPG), esta area la calcule de como lo muestro en el documetno adjunto (area.doc), pero tengo dudas si la formula para calcular ese tiempo se puede utilizar en esta aplicacion? Gracias

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Perdon me equivoque en el calculo del area del trapecio, la cual es
Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2 Gracias

[Metaleer]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Entonces por lo que veo sí puedes usar las relaciones que deduje antes en el post de antes, aunque en el dibujo hay algo que no me cuadra; ¿se supone que $H$es la altura máxima, es decir, la correspondiente a cuando el nivel de líquido está sobre $A_1$? Ahí es que veo $H$ a una altura intermedia aparentemente arbitraria; si el líquido empieza a drenarse ahí en esa situación intermedia a altura $H$ no veo la relación entre el tiempo total de vaciado y $A_1$. Muy probablemente hayas querido decir que al nivel de superficie $A_1$ la altura es $H$. Lo único que debes tener en cuenta es la altura a la que está la válvula manual esa; voy a llamar a esta altura $a$, con lo que aplicando Bernouilli y la ecuación de continuidad nos queda:

$\displaystyle -\frac{dh}{dt}(\frac{L-l}{H}h + l)^2 = c\sqrt{2g(h-a)}0,2A_2$

$\displaystyle - \frac{(\frac{L-l}{H}h + l)^2}{\sqrt{2g(h-a)}} dh = c 0,2 A_2 dt$

Integrando en ambos miembros entre $H$, $a$ y , $t$ respectivamente, despejando $t$ obtenemos

$\displaystyle \frac{0.666667\,\left( 8\,a^2\,{\left( l - L \right) }^2 - 4\,a\,H\,\left( l - L \right) \,\left( 4\,l + L \right) + <br /> H^2\,\left( 8\,l^2 + 4\,l\,L + 3\,L^2 \right) \right) }{A_2\,c\,H^2\,{\sqrt{\displaystyle\frac{g}{-a + H}}}}$

que será el tiempo de vaciado para el recipiente este, donde $l$ es el lado del base de abajo, $L$ el lado del base de arriba, $H$ la altura inicial, $a$ la altura desde la base menor hasta la válvula manual y $A_2$ el área de la válvula manual. Nota que en la ecuación diferencial inicial he multiplicado $A_2$ por $0,2$ ya que 20% es la cantidad abierta.

Espero que te sirva, saludos.

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Hola, gracias por tu amable ayuda, en cuanto a la altura H, esta altura en realidad si es una altura intermedia de la superficie A1. Tu multiplicaste el Area A2 por el porcentaje de apertura de la valvula manual (0.2), el calculo de esta area lo realice en el archivo adjunto que se llama Area.doc, me gustaria que me dieras tu opinion al respecto, por tanto en la ecuacion que tu calculaste del tiempo de vaciado yo quitaria la multiplicacion que hiciste por 0.2 y reemplazaria A2 por la ecuacion calculada en el archivo Area.doc. Que te parece?, Gracias por tu colaboracion y pronta respuesta.

Serias tan amable de darme mas detalles de como llegaste a la ecuacion calculada (Tiempo de vaciado)?

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Hola, teniendo en cuenta lo que te dije en el hilo anterior, es decir quitando el 0.2 que multiplicas al area A2 y reemplanzando el area A2 por la calculada en el documento adjunto Area.doc, el tiempo de vaciado seria como lo muestro a continuacion. Por favor me confirmas si esta bien el calculo o si tengo algun error?, El L en la ecuacion de c es la longitud del orificio cilindrico? Gracias
[FONT=Times New Roman]teniendo en cuenta que a = 0[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T = (0.133334(H^2(8l^2+4lL+3L^2)))/(cH^2sqrt(g/H)A2[/FONT]

[FONT=Times New Roman]c = (r^2)/4sqrt(2gh)nL donde n es la viscosidad del liquido [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Perdon por la expresion pero todavia no me acostumbro con el editor [/FONT]

[Metaleer]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Yo por una apertura al 20% entiendo que el 80% de la sección está tapada. No obstante, olvidándonos de porcentajes, si lo que tienes como base de partida es $b$ de la siguiente figura, para calcular el área en amarillo que coge un segmento de longitud $b$ lo mejor es usar cálculo integral:



tendremos que la integral a resolver es pues:

$\displaystyle 2\int _{R - b}^{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}\,dx$

que da como resultado (hay que hacer un cambio de variable trigonométrico)

$\displaystyle -R^2 \sin^{-1}(\frac{R-b}{R}) + \frac{\pi R^2}{2} - (R-b) \sqrt{b(2R-b)}$

que a priori no parece ser lo que tienes en el documento ese, aunque habrá que ver si simplificando se reduce a lo mismo.

Y con respecto a la segunda pregunta, sólo he hecho esto:

$\displaystyle - \int _{H}^{a} \frac{(\frac{L-l}{H}h + l)^2}{\sqrt{2g(h-a)}} dh = \int _{0}^{t} c 0,2 A_2 dt$

y he despejado t.

$L$ es la longitud del lado de la base mayor, la base de arriba.

Saludos.

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Hola Gracias, entonces el tiempo de vaciado quitandole la mulplicacion por 0.2 que hiciste quedaria como lo muestro en la figura formula.jpg, por favor me corriges si tencon algun error, y pues el area A2 seria el calculo con la integral del hilo anterior. el L de la ecuacion de c, el cual depende de la Viscosodad del liquido, es la longitud del Orificio por donde sale el aceite?
En cuanto al calculo de A2 como llegaste a esa ecuacion que estas integrando, quien es x? Gracias

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Hola, de nuevo muchas gracias por tu colaboracion, me podrias ayudar con el calculo de deltaP (diferencial de presion, Ley de Poiseuille), el cual va en la ecuacion de c. Muchas gracias

[candexis]

Re: tiempo de vaciado de un recipiente

Por favor necesito ayuda. . . . . . con respectos a las preguntas de los hilos anteriores. . . gracias