1r ciclo Agua, Fluido incompresible

[skinner]

Buenas. Estoy recién empezando a estudiar las ecuaciones de la mecánica de fluidos. En este momento me encuentro intentando demostrar qué significado geométrico tiene la divergencia de la velocidad de un fluido (que es la dilatación cúbica unitaria).

Mis problemas empiezan cuando obtengo la integral siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Si la densidad es constante en todo el volumen fluido $V_f$, ¿es constante en el tiempo o en el espacio, o en ambas? Lo digo porque mi profesor continuó la ecuación de arriba escribiendo:

$$\vec{v}\cdot \nabla\rho+\rho\nabla\cdot\vec{v}=0$$

De lo cual puedo deducir dos cosas (siguiendo su razonamiento)

1) $\dst \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

2) Puesto que ha utilizado la propiedad de la divergencia: $\nabla\cdot (f\vec{v})=f\nabla\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\nabla f$ , también deduzco que ha tomado $\rho$ constante sólo en el tiempo y no en el espacio.

¿Es lógico esto? En caso contrario, puede que haya copiado o interpretado mal al profesor; las clases son en inglés. y aunque tengo un nivel bueno, quizá no pillo todas las cosas con la claridad que desearía.

¿Alguien puede echarme una mano, por favor?

Un saludo

[arreldepi]

Re: Agua, Fluido incompresible

Hola! Efectivamente, cuando ha hecho eso ha tomado $\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0$, esto se debe a que se está haciendo un estudio Lagrangiano (es decir, que seguimos el elemento de fluido. La otra visión sería la Euleriana, en la que miramos un punto fijo del espacio). En la visión Lagrangiana la densidad no cambia si seguimos un elemento de fluido (la cantidad de átomos es la misma), de manera que permitimos que cambie la forma, pero no el volumen.

[skinner]

Re: Agua, Fluido incompresible

Gracias por tu respuesta arreldepi, aclaró varias dudas. Pero sigo con la duda: ¿la Densidad se toma constante sólo en el tiempo? ¿O también en el espacio?

En cuanto a tu afirmación:

En la visión Lagrangiana la densidad no cambia si seguimos un elemento de fluido (la cantidad de átomos es la misma), de manera que permitimos que cambie la forma, pero no el volumen.

Me gustaría que entrases aunque fuera sólo un poco más en detalle en ella (sobretodo en la afirmación de la cantidad de átomos y en el cambio de la forma pero no del volumen).

Una última petición (espero que no sea demasiado). Creo que mi profesor está haciendo uso de un estudio euleriano donde las propiedades fluidomecánicas se definen para cada punto del dominio fluido, fijo respecto del sistema de referencia. Por tanto tiene sentido que estemos trabajando en el sentido euleriano y no en el lagrangiano que tú me dices. ¿Puedes verificar esto, o aclararmelo?

Un saludo amigo!

[arreldepi]

Re: Agua, Fluido incompresible

Uis, eso me pasa por no leerlo todo xD, al haber visto que el titulo era fluido incompresible no me he mirado lo que decías al final. En el caso del incompresible lo que es cero es la derivada total respecto el tiempo (que incluye la temporal y la de posición) y el gradiente de la densidad también se anularía.

En el caso más general, también tendrías que tener la derivada temporal.

Es decir:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec\nabla\cdot(\rho\vec v ) = 0\qquad\to\qquad \frac{\partial\rho}{\partial t} + v\vec\nabla\rho = -\rho\vec\nabla\cdot\vec v$$

Agrupando la parte izquierda en una derivada total (derivada material):

$$\frac{\dd\rho}{\dd t} = - \rho\vec\nabla\cdot\vec v$$

Aquí es donde, en el caso de ser el fluido incompresible, se cumple lo que te he dicho antes.

Mejor pregunta a tu profesor por qué la anula.


Saludos!

[skinner]

Re: Agua, Fluido incompresible

Gracias, ya le preguntaré. De todas formas creo que ya me ha quedado claro.

Un saludo