Divulgación Fluido contenido en un casquete esférico v2.0

[angelo]

Hace casi 5 años, Beto creó un hilo proponiendo este problema, el cual me parece súper interesante
Este es el hilo: http://forum.lawebdefisica.com/threa...-esf%C3%A9rico

Siempre me ha dado curiosidad este problema aunque no se muy bien como plantearlo y supongo que a partir de lo que anotaré a continuación se podrá comprender un poco más el concepto de presión atmosférica y sus implicaciones sobre los cuerpos, bueno la idea es la siguiente:

Imaginen que tienen un recipiente boca abajo sobre el piso con un pequeño orificio en la parte superior (para este hilo consideremos que el recipiente sea un casquete esférico), luego se lo le va agregando un fluido por el orificio mencionado (consideremos por ejemplo agua); obviamente se podrá llenarlo hasta una determinada altura y luego de eso el agua empezará a salir por la parte inferior. Planteado así el problema se me ocurre la siguiente interrogante:

"¿Qué debe de suceder para que salga el agua por abajo y cual seria la altura máxima que alcanzaría el agua en el recipiente?"

Diviértanse con el problemita, se me ocurren algunas cosas que preguntar pero las haré luego de discutir esta primera cuestión planteada.

Saludos.

Se intentó abordar, pero el resultado se dejó a la mitad. Ahora lo recupero del baúl de los recuerdos para completarlo un poco.

La integral para el cálculo de la fuerza resultante vertical está perfectamete planteada, pero encontré algún error en la integración. El resultado que obtengo es el siguiente (http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*\rho*g*R^2*int_%28acos%28H%2FR%29%29^%28pi%2F2%29+%28H-R*cosx%29*sinx*cosx+dx)

$$\dst F_z=2\pi\rho gR^2\int_{\text{acos}(H/R)}^{\pi/2}(H-R\cos\theta)\sin\theta\cos\theta d\theta=\frac 1 3 \pi\rho gH^3$$

Por tanto, la altura de agua a partir de la cual el casquete (de masa $m$) comienza a levantarse será

$$\boxed{\dst H=\left(\frac{3m}{\pi\rho}\right)^{1/3}}$$

Dos comentarios:

1) La altura del agua no depende del radio del casquete, sólo de su masa.

2) En casquetes con un radio $R<(3m/\pi\rho)^{1/3}$ no ocurrirá este fenómeno. Por tanto, los casquetes que cumplan esto pueden ser llenados de líquido completamente.

Ahora, veamos que ocurre cuando el casquete se empieza a elevar.

Debido a las fuerzas de tensión superficial, el agua (generalmente) no comenzará a fluir por debajo hasta que el casquete no ascienda una pequeña altura $h$. A partir de esa altua, la presión hidrostática en la base del casquete vence a la tensión superficial, induciendo el flujo del líquido.

Las fuerzas de tensión superficial se calculan a partir del salto de presiones $\Delta p$ en el menisco, el cual se forma por todo el perímetro de la base del casquete. La ley de Laplace-Young establece que

$$\dst \Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R}+\frac{2\cos\theta_c}{h}\right)$$

El ángulo de contacto $\theta_c$ depende de las fuerzas de adhesión líquido-sólido (es decir, depende del tipo de fluido y del material del casquete y del suelo). Para no complicarnos mucho, vamos a considerar que este ángulo es menor de 90º (menisco cóncavo), y que es generalmente pequeño, es decir $\theta_c\ll 90$º. En este caso, como $R\ll h$, el salto de presiones se simplifica a

$$\dst {\Delta p\simeq\frac{2\sigma\cos\theta_c}{h}}$$

Suponiendo que $H\gg h$, la condición para que el agua comienza a fluir sería finalmente $\rho g H>2\sigma\cos\theta_c/h$, por lo que la altura a la que debe elevarse el casquete será

$$\dst \boxed{h>\frac{2\sigma\cos\theta_c}{\rho gH}}$$

La velocidad (en estado estacionario) con la que el agua fluye por debajo del casquete se puede estimar haciendo $\frac 1 2 \rho v^2=\rho g H-2\sigma\cos\theta_c/h$. Por tanto obtenemos

$$\dst \boxed{v=\sqrt{2gH-\frac{4\sigma\cos\theta_c}{\rho h}}}$$

Esto no es más que la ley de Torricelli, pero con una corrección debida a la tensión superficial. El caudal que fluye hacia fuera del casquete sería entonces $Q=2\pi Rhv$. Si conocemos el caudal de alimentación, $Q_a$, entonces podremos calcular la altura $h$ haciendo $Q_a=Q$ (sale una ecuación de segundo grado).

Este resultado está obtenido suponiendo un estado estacionario. Para calcular las oscilaciones que comenta Beto debería hacerse un análisis transitorio algo más complejo. Pero yo por ahora lo dejo aquí. Nuevas ideas, aportaciones y correciones son bienvenidas!

- - - Actualizado - - -

Una vez obtengamos el valor de $h$, podremos calcular el nivel de agua dentro del casquete a partir del cual esta comienza a fluir por debajo.

Si $H$ es el nivel de agua necesario para que el casquete comience a elevarse, $H+d$ será el nivel necesario para que agua fluya. El volumen bajo el casquete (el cual está elevado una altura $h$) será $V_b=\pi R^2h$. Este volumen deberá ser equivalente al volumen añadido, $V_a$, sobre la altura $H$. Asumiendo que $d\ll H$, entonces $V_a\simeq\pi(R^2-H^2)d$. Igualando resulta

$$\boxed{\dst d=\frac{hR^2}{R^2-H^2}}$$

[BWZ]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico v2.0

Bueno, solo algún pequeño comentario. Aunque creo que está lo suficientemente claro.

Esta aproximación sirve solo si consideramos insignificante el espesor del recipiente, de otro modo las fuerzas en el interior y exterior de este debido a la presión atmosférica no se anularían, pues el área sobre las que actúan ya no serían iguales.

[Hectorkes]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico v2.0

Hola!
Me llamo Héctor y bueno; soy nuevo en este foro.

El otro día me encontré con este problema y me dio por resolverlo. (Estudiante de 2º año de ingeniería)

He intentado la resolución de la integral que se propone para el calculo de la fuerza que ejerce el fluido sobre la semiesfera, y bueno por más que intento obtener el dA= 2*pi*R^2(H-R*cos(theta))*sin(tetha)d(theta) no lo consigo.

Agradecería mucho que me dijera alguien el cómo.

Un saludo;

Héctor

Problema solucionado.
Gracias

[[Beto]]

Re: Fluido contenido en un casquete esférico v2.0

Casi tenía olvidado este ejercicio, gracias por corregir el error y completar la solución.