Otras carreras Álgebra, transformación del tensor de tensiones

[Aer]

Buenas, ha pasado ya un año desde que curse álgebra y se me han oxidado algunos conceptos, a ver si alguien puede refrescarme la idea:

Un cambio de sistema de refenrecia viene dado por una matriz transformación
$x' = Lx$
Ahí no hay problema, creo que tengo claro el por qué y como hallar dicha matriz.

Ahora bien para expresar un tensor en otro sistema de referencia, tengo tal que:
$\sigma ' = L \sigma L^T$
A mi me da la sensación de que es como si transformase el tensor $T = L \sigma$ y luego lo proyectase sobre la base de la transformación, para tenerlo así representado en las coordenadas de esa nueva base $T L^T$...¿es eso? ¿o no tiene nada que ver xD? me voy a tener que poner a repasar álgebra a tope jeje,
¡Saludos y gracias por vuestra ayuda!

- - - Actualizado - - -

Pero lo que digo no puede estar bien, $L$ no puede cambiar los vectores... es solo un transformación de las coordenadas. Puff no recuerdo como iba lo de los cambios de base, estoy atascado T.T

[pod]

Re: Álgebra, transformación del tensor de tensiones

Dos formas de verlo.

Si tu $\sigma$ es una matriz tal que te transforma un vector x en otro y,

$$y = \sigma x ,$$

entonces debe ser $y' = L y$ y $x' = Lx$. Luego, nosotros queremos escribir la ecuación (1) de forma que

$$y' = \sigma' x' .$$

No sabemos qué es $\sigma'$. Para averiguarlo, tomamos la ecuación (1) y multiplicamos por la izquierda la L,

$$L y = L \sigma x .$$

Como hemos dicho, debe cumplirse $x' = L x$, o lo que es lo mismo $x = L^{-1} x'$. Substituyendo en (3), y considerando que el miembro de la izquierda es y',

$$y' = \big( L\sigma L^{-1}\Big) x' .$$

Comparando (2) y (4) queda claro que

$$\sigma' = L \sigma L^{-1} .$$

Ahora, si (y sólo sí) la transformación L es una rotación (pertenece al grupo O(N)), entonces $L^{-1} = L^T$ y lo que pusiste tú es correcto.


Otra forma de verlo, en componentes. Si las coordenadas vienen identificadas por $\theta_i$ y $\theta'_i$ en ambos sistemas de referencia (lo normal es usar la letra x aquí, pero como ya la usas para los vectores me veo obligado a cambiarla. Lo equivalente a $x' = L x$, y su inversa, es

$$x'_i = \frac{\dd \theta'_i}{\dd \theta_j} x _j .$$

$$x_i = \frac{\dd \theta_i}{\dd \theta'_j} x'_j .$$

De aquí vemos que las matrices con componentes $\frac{\dd \theta'_i}{\dd \theta_j}$ y $\frac{\dd \theta_i}{\dd \theta'_j}$ son inversas (siempre que sean invertibles, y todo eso que aprendemos en primero con los dichosos Jacobianos).

Uso la notación de sumación de Einstein, un índice repetido arriba y abajo (abajo en un denominador es lo mismo que arriba en un numerador) sobreentenden sumatorio.

El tensor \sigma debe aplicarse tal que así,

$$y_i = {\sigma^j}_i x_j .$$

La regla memotécnica para transformar tensores es recordar que los índices con prima tienen que estar en el mismo lado (arriba o abajo), y recordando que un indice con prima es diferente del mismo índice sin prima. Por lo tanto,

$${\sigma^{j'}}_{i'} = {\sigma^j}_i \dfrac{\dd \theta^{j'}}{\dd \theta^{j}}\dfrac{\dd \theta^{i}}{\dd \theta^{i'}}.$$

Esto es un poquito feo y confuso. Quizá sea más cómodo reescribirlo cambiando el nombre de los índices mudos y agrupando las primas con el símbolo principal del tensor en vez de con cada índice

$${\sigma'^{j}}_{i} = {\sigma^b}_a \dfrac{\dd \theta'^{j}}{\dd \theta^{b}}\dfrac{\dd \theta^{a}}{\dd \theta'^{i}}.$$

Recuerda que cuando hacemos operaciones matriciales en componentes, los índices sumados tienen que ir juntos (la receta de "filas por columnas"). Eso lo podemos conseguir reagrupando los productos tal que así:

$${\sigma'^{j}}_{i} = \dfrac{\dd \theta'^{j}}{\dd \theta^{b}} {\sigma^b}_a \dfrac{\dd \theta^{a}}{\dd \theta'^{i}}.$$

Comparando con las ecuaciones (a1) y (a2), vemos que lo que hay delante de $\sigma$ es L y lo que hay detrás su inversa.

[Aer]

Re: Álgebra, transformación del tensor de tensiones

Muchísimas gracias tu explicación, es genial (En serio, gracias por dedicar parte de tu tiempo en elaborar una explicación tan clara) . Ahora sí que lo tengo claro
¡Saludos!

[kuvala]

Re: Álgebra, transformación del tensor de tensiones

Muchísimas gracias a mi también. Pensaba que yo era el único que tenía esta duda, pero veo que no jeje

Un Saludo