1r ciclo Poiseuille y número de Reynolds

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que he resuelto pero no estoy del todo seguro de que esté bien.

El petróleo en crudo posee una densidad de 700 kg/m3 y una viscosidad de 0.8 Pa s. Se quiere construir una conducción de 50 km que suministre un caudal de 500 l/s con flujo laminar (Re<1000). Calculad el diámetro mínimo de la tubería que se debería utilizar para que la presión de bombeo no supere 8 atm.

El caso es que lo he resuelto usando únicamente usando la ecuación de Poiseuille, que me da un diámetro mínimo. Con los datos para la ecuación de Reynolds solo obtengo la desigualdad $vD<1.14$ (aprox.), siendo v la velocidad y D el diámetro, y no influye en la resolución del problema.

Obtengo un diámetro mínimo de $D=1.005\ \text{m}$. ¿Es correcto? ¿Alguien podría corroborarlo? Gracias

[arivasm]

Re: Poiseuille y número de Reynolds

Entiendo que se trata de dos condiciones diferentes, una determinada por la ecuación de Poiseuille y la otra por el número de Reynolds, debiendo aplicarse la que resulte ser más restrictiva. Yo encuentro que por la ecuación de Poiseuille la caída de presión de 8 atm requiere de una tubería de diámetro mínimo de 1,00 m, mientras que el número de Reynolds requiere una de diámetro mínimo 0,55 m. Por tanto, la solución sería la que has indicado.

[wanchufri]

Re: Poiseuille y número de Reynolds

Hola!

Al ser un movimiento en un tubo circular, podemos estudiarlo mediante las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas, teniendo en cuenta que se trata de un movimiento axilsimétrico, es decir, las derivadas respecto de la coordenada azimutal serán nulas.

Al ser un tubo de 50 km de largo, podemos decir que la longitud característica a lo largo de la coordenada longitudinal es mucho mayor que la longitud característica a lo largo de la coordenada radial.

Usando la ecuación de la cantidad de movimiento en la dirección radial, debido a los ordenes de magnitud de las longitudes y que el movimiento es unidireccional solo sobrevive el término de presiones (he considerado movimiento estacionario). Con lo cual queda:

0 = -[FONT=arial]∂p/[/FONT][FONT=arial]∂r => p [/FONT][FONT=arial]≠ p(r)
[/FONT]
en la dirección longitudinal, sobrevive el término de presiones y el término viscoso con un orden de magnitud mucho mayor que el resto.

0 = -dp/dx + ([FONT=arial]μ/r)·d(r·du/dr)/dr
[/FONT]
Como [FONT=arial]p [/FONT][FONT=arial]≠ p(r), => [/FONT]dp/dx [FONT=arial]≠ f(r) y por tanto podemos integrar la expresión anterior directamente, teniendo en cuenta las condiciones de contorno:
[/FONT]
u(r=R) = 0
u finita en el interior del tubo

dp/dx = ([FONT=arial]μ/r)·d(r·du/dr)/dr[/FONT]

Integramos una vez, despejamos du/dr y volvemos a integrar. Nos aparecerá un logaritmo de r multiplicado por una constante, que será nula debido a la segunda condición. La otra constante la determinamos con la primera condición y finalmente obtenemos:

u = (dp/dx)·(R[FONT=arial]² - r[/FONT][FONT=arial]²)/4[/FONT][FONT=arial]μ (expresión de la corriente de Poiseulle en coordenadas cilíndricas)

Ahora, el caudal lo calculamos como:

Q = [/FONT][FONT=arial]∫u(r)·dA = [/FONT][FONT=arial]∫u(r)·2·[/FONT][FONT=arial]π·r·dr = [/FONT][FONT=arial]π·R[/FONT][FONT=arial]⁴·[/FONT](dp/dx)/8[FONT=arial]μ

Si asumimos que la presión varía uniformemente a lo largo de la tubería:

[/FONT][FONT=arial]Q = [/FONT][FONT=arial]π·R[/FONT][FONT=arial]⁴·[/FONT]([FONT=arial]Δ[/FONT]p/[FONT=arial]Δ[/FONT]x)/8[FONT=arial]μ

Despejando el radio, y pasándo al diámetro:

D = 2·[/FONT][FONT=arial]∜[/FONT][FONT=arial]([/FONT]8·[FONT=arial]μ·[/FONT][FONT=arial]Q·[/FONT][FONT=arial]Δ[/FONT]x[FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]π·[/FONT][FONT=arial]Δ[/FONT]p)

Y ahí tienes la expresión D = D([FONT=arial]Δ[/FONT]p). Particularizalo para [FONT=arial]Δ[/FONT]p = 8 atm (cuidado con las unidades) y obtendrás el diámetro mínimo

edito:

olvidaba aclarar la nomenclatura:

Q = Caudal
[FONT=arial]μ = coeficiente de viscosidad dinámico
[/FONT][FONT=arial]Δ[/FONT]x = longitud de la tubería
[FONT=arial]Δp = variación de presión entre un punto u otro o presión necesaria para mover el fluido una distancia [/FONT][FONT=arial]Δ[/FONT]x con un caudal Q