Otras carreras Vaciado de tanque con orificio: compuerta

[victoriaf]

Necesito ayuda sobre como plantear la siguiente situación: un tanque cilíndrico sin tapa se vacía a un tiempo t1 con un orificio que es una compuerta recatngular que se desliza a un tiempo t2. como lo puedo plantear fisicamente? Gracias..

[Richard R Richard]

Por el principio de torricelli, la velocidad de vaciado es

$v=\sqrt{2gh}$ siendo h el desnivel entre el centro de la compuerta y la superficie libre del tanque.

sabes que el caudal es$Q=v\cdot s_{comp}$

y que la variación del volumen en el tanque por unidad de tiempo es igual al caudal

$\dfrac{dV}{dt}=v\cdot s_{comp}=\sqrt{2gh}s_{comp}$

a la vez el volumen dentro del tanque es su nivel por el área del tanque $h=\dfrac V{S_T}$

entonces

$\dfrac{dV}{dt}=s_{comp}\sqrt{2gS_T V}$


$\dfrac{dV}{\sqrt{V}}=s_{comp}\sqrt{2gS_T }dt$

que es una ecuación diferencial que poniendo los limites de integración correcos te permite calcular la velocidad de pasaje de fluido , para cuaquier tiempo dado.

[victoriaf]

se puede integrar indefinidamente? Porque se integra con los limites?

[JCB]

Hola a tod@s.

Atención: la expresión final hallada es válida solo en el caso de que el tiempo de apertura total de la compuerta sea superior al tiempo de vaciado del depósito, es decir $t_2>t_1$.

El orificio de vaciado tiene un área variable. Supongamos que esta área en la posición de apertura máxima, es un rectángulo de lados $a$ y $b$. Cuando la compuerta está cerrada, y a medida que se abre, $"a"$ permanece constante y su otro lado, varía de hasta $"b"$ en el tiempo conocido $t_2$.

Como la compuerta recorre una distancia $"b"$ en un tiempo $t_2$, la velocidad de apertura es $v=\dfrac{b}{t_2}$.

El área del orificio, en función del tiempo, es $S_o(t)=avt=\dfrac{ab}{t_2}t$ (1).

Ahora supongamos que el depósito tiene un área (constante) igual a $S$ y que el líquido está a una altura $H$ inicialmente.

Para el vaciado del depósito, igualo la cantidad de volumen que desciende con la cantidad que sale a través del orificio:

$-Sdy=S_o(t)\sqrt{2gy}dt$. Substituyendo (1):

$-Sdy=\dfrac{ab}{t_2}t\sqrt{2gy}dt$. Integrando entre $H$ y , y entre y $t_1$, llego, salvo error u omisión a:

$t_1=\sqrt{\dfrac{St_2}{ab}\sqrt{\dfrac{8H}{g}}}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB entiendo que es lo que planteas.

Yo entiendo claramente que en tiempo $t_1$ se ha vaciado completamnte el tanque y que la compuerta se abre a tiempo $t_2$, sin regulación, luego el tiempo de vaciado es $\Delta t=t_2-t_1$

Por otra parte no impones limite de tiempo a la apertura por que nunca el área del orificio de vaciado puede ser mayor que $S_{t_2}= ab$ luego $t<t_2$ y el tanque debería vaciarse antes del tiempo $t_2$ para que $v$ sea constante.

Ves que así se complica porque nada dice si $t_1$ sea o no mayor que $t_2$ del modo como has encarado la resolución.

Si $t_1$ es mayor que $t_2$ es decir el tanque se vacía mucho tiempo después de que la compuerta se abre totalmente, tienes que usar dos integrales una hasta $t=t_2$ y otra desde $t_2$ hasta $t_1$

[victoriaf]

Muchas gracias... otra consulta: la velocidad con que se abre la compuerta de quien depende?
Porque tengo que encontrar una velocidad característica para diferentes casos que pueden existir:
Caso 1: vaciado y apertura en un mismo t. eso ya lo encontré. h(t)=(((-L1.v.(2g)^1/2.t^2)/pi.r^2)+c)^2
Caso 2: si sea vacía mas rápido de lo que se termina de abrir la compuerta.
Caso 3 viceversa.

[Richard R Richard]

Hola victoriaf había olvidado darte la Bienvenida al foro!!!! como nueva miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes

Si siempre se integra con los límites ,la velocidad de apertura te la ha calculado JCB como una constante y depende del valor que asignas a $t_2$
$v=\dfrac{ab}{t_2}$

Para el caso en que se vacía antes de cerrar la compuerta, usas como limite de tiempo $t_2$ y 0 ,y el y la altura entre 0 y $H$ la altura total, usando el desarrollo de JCB.
Cuando $t_1=t_2$ es un caso particular de lo anterior, si usas ese desarrollo , tienes que el cambio de altura es $H-h$ siendo $h$ la cota mas baja de nivel en el tanque, como quieres que $h=0$te impone una única altura $H$ para que eso suceda que te queda en función del área $ab$

Pero el caso en que se vacía luego de que la compuerta ya esta completamente abierta debes proceder del siguiente modo
Iguala los tiempos $t_1$ y $t_2$ pero ahora despeja $h$ que sera hasta donde desciende el nivel mientras que se termina de abrir la compuerta.
Luego procede con la ecuación diferencial que te pase en mi primer respuesta usando como limites de integración $h$ y y para el tiempo $t_2$ y $t_1$.

[victoriaf]

Nosotro planteamos para el caso donde t1 y t2 son iguales.. Ahi les paso la foto.. segun mi profesor esta bien.. a ustedes que les parece? les agradezco mucho de su ayuda...