Otras carreras Ejercicio flujo alrededor de un generador.

[risitas_jomeo98]

Hola buenas soy estudiante, llevo mirándome el ejercicio mucho y no me sale bien por si es posible que me puedan ayudar a entenderlo para saber que hago mal.

Se desea estudiar el flujo de aire alrededor de la figura. Para ello, consideren un tubo de corriente que pase por sus aspas. Las secciones de entrada y salida están suficientemente alejadas del plano de rotación de las aspas con lo que se puede considerar que las condiciones en dichas secciones son uniformes. Las velocidades en dicha sección de U₁, y de salida, U₂, son conocidas. Además, se considera que la disipación viscosa en el aerogenerador es despreciable, al igual que los esfuerzos viscosos en las paredes del tubo de corriente elegido.

1. Calcular la relación entre las velocidades y secciones de entrada, salida y en la región más cercana a las aspas del aerogenerador. Denotar las secciones cercanas a las aspas del generador con un *(como en la figura).

2. Obtener la fuerza de empuje, F, ejerce el viento sobre las palas en función de variables conocidas y del caudal.

3. Aplicando la ecuación de Bernoulli y aproximando que la F≃A*(P₁*-P₂*), donde A es el círculo barrido por las aspas, obtener una expresión del caudal como función únicamente de U₁, U₂ y A. Comprueba e indique las condiciones necesarias para aplicar la ecuación de Bernoulli en este caso.

4. A partir de la ecuación de la energía en forma integral, obtener la expresión de la potencia extraída por el aerogenerador, en función de ρ,U₁,U₂ y A.


Pido perdón si es mucha molestia pero seria de gran ayuda. Muchas gracias.

[JCB]

Hola a tod@s.

Me cuesta creer que os hayan lanzado este ejercicio, sin explicaros antes algo de la teoría de hélices. Podrás encontrar esta teoría en bastantes libros de Mecánica de Fluidos, como el Çengel - Cimbala, Streeter - Wylie, etc.

Saludos cordiales,
JCB.

[Abdulai]

Ese ejercicio apunta a la ley de Betz
https://en.wikipedia.org/wiki/Betz%27s_law

[JCB]

Hola a tod@s.

De hecho, el apartado 2, puede resolverse a partir del principio de impulso y cantidad de movimiento,

$I=Ft=m\Delta v$,

$F=\dfrac{m\Delta v}{t}=\rho \dfrac{V}{t}\Delta v=\rho Q\Delta v=\rho Q(v_2-v_1)$.

La potencia absorbida por el aerogenerador, podría calcularse mediante el siguiente balance energético:

$\dot{E_1}-\dot{W}=\dot{E_2}$,

$\dot{W}=\dot{E_1}-\dot{E_2}=\dfrac{1}{2}\dot{m}v_1^2-\dfrac{1}{2}\dot{m}v_2^2=\dfrac{1}{2}\dot{m}(v_1^2-v_2^2)=\dfrac{1}{2}\rho Q(v_1^2-v_2^2)$.

Por conservación del caudal,

$Q=v_1S_1=v_2S_2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La 1) apunta a la conservación del caudal, como podemos suponer , solo suponer que la densidad es una constante, entonces la relacion entre secciones y velocidades se convierte en la ecuacion e continuidad

$U_1A_1=U_2A_2=U_1^{*}A=U_2^{*}A$

evidentemente de los dos términos finales no podemos decir que $U_1^{*}=U_2^{*}$ ya que la fuerza de la pala comprime el aire generando mas presión. en realidad sucede una variación de densidad por incremento de presión , que se alivia luego, pero lo correcto seguirá siendo que el caudal se conserve.

2)El planteo de JCB lo veo bien


3) Consiste en escribir la conservación de la energía en términos de la ecuación de Bernoulli, y la Potencia en términos de la Fuerza, luego en esas ecuaciones reemplazar formulas de caudal y velocidad, para dejarla en función del caudal y el área de las palas

4)Aquí si la la Ley de Betz permite estimar la máxima potencia que se puede extraer al sistema , sabiendo la velocidad del viento de entrada, su densidad y el tamaño de las palas.

[risitas_jomeo98]

Hola buenas he conseguido sacar los tres primeros apartados pero el cuarto no consigo realizarlo porque no me han explicado la ley de betz correctamente, si es posible que me lo solucionen y explicármelo para entenderlo.
Perdón por las molestias.

[JCB]

No hace falta que pidas perdón continuamente. Lo que sería realmente de utilidad al foro, es que nos tuvieses al corriente de tus progresos, publicándolos.

[Richard R Richard]

La cantidad de energía extraída del viento debido al impulso de las palas es una función directa del tiempo

$\Delta E=\displaystyle \int_0^T P_{ot} dt$

Si no se varia el perfil de las alas y su longitud y se tiene una fuente constante velocidad del viento podemos decir que la potencia extraída es constante entonces


$\Delta E=P_{ot} T$

y el límite máximo de potencia que se puede extraer se obtiene por la ley de Betz, cuyo desarrollo esta en la wikipedia inglés tal como te lo recomendó Abdulai en el post #3

$\dfrac{\partial E}{\partial t}=P_{ot\,max} = \tfrac{16}{27} \cdot \tfrac{1}{2} \rho S v_1^3.=\tfrac{16}{27}P_{ot\,viento}$


esto impone un limite natural a la potencia extraíble de la energía del viento en un 59% aproximadamente (16/27)

[risitas_jomeo98]

Muchas gracias de verdad