Cuerpo sumergido en dos líquidos inmiscibles

[famaff]

Buenas! Alguien me podría ayudar con el planteamiento de este ejercicio?

Problema:
Calcule la fuerza neta que el fluido ejerce en dirección vertical sobre la superficie inferior del cuerpo, integrando la presión sobre dicha superficie.

Entiendo que para calcular la fuerza tengo que plantear una integral porque esa fuerza va a depender de la profundidad a la que me encuentre. Pero me mareo un poco cuando voy a plantear la integral.
En primer lugar empecé a dudar sobre como tomar el diferencial de área. En el archivo que adjunte, tome el diferencial de área marcado en rojo, y por ende me iba a quedar dependiendo de la ecuación que describe la base del cuerpo (ecuación lineal)
Después me puse a pensar la posibilidad de tomar ese diferencial como el que esta marcado en azul en la figura (b) del archivo, pero no sabia si estaba bien.
Me podrían ayudar a ver como debería tomar ese diferencial de área y a plantear la integral? Muchas Gracias!!!

[Jaime Rudas]

B
Calcule la fuerza neta que el fluido ejerce en dirección vertical sobre la superficie inferior del cuerpo, integrando la presión sobre dicha superficie.

No sé si estoy entendiendo mal el planteamiento, pero me parece que la fuerza neta en dirección vertical del fluido sobre el cuerpo es igual al peso del cuerpo y, para calcularlo, no hace falta ninguna integral: basta con calcular el volumen y multiplicarlo por la densidad.

[famaff]

La fuerza que le ejerce el fluido no es constante, va a depender a que profundidad se encuentre. Pensalo así, la fuerza que el fluido le ejerce al cuerpo en el vértice del triangulo no va a ser la misma que le ejerce si consideras un punto mas "arriba del vértice", por eso tenes que plantear la integral considerando un pequeño diferencial de área.
Después, la fuerza que siente ese dA va a ser

dF=P*dA donde P=P_0+ρgh (hay que tener cuidado al calcular esa presión porque el cuerpo esta sumergido en dos líquidos)

Hay que determinar adecuadamente P (la presión que siente ese dA) y dA para poder integrar sobre toda la superficie y encontrar la fuerza.
Yo modele mas o menos así el problema en mi cabeza, pero no me esta saliendo determinar bien dA y tampoco estoy segura de si la P que calcule esta bien.

[Richard R Richard]

Hola calcula el ángulo de la pendiente, calcula la protección vertical del diferencial de área con el seno.
por Arquímedes calcula la presión como suma de la densidades multiplicadas por gravedad y altura.
La altura es variable solo para un líquido, la altura de ese líquido varía entre dos cotas que serán los límites de integración de una función lineal.

[famaff]

Buenas Richard! Me podrías ayudar un poco con el ejercicio? Yo lo encare de otra manera que no me parecía muy correcta y además el resultado que llegue era una expresión muy fea.
Leyendo el mensaje #4, me pareció bastante razonable encarar el problema de esa forma.
Cuando pones "calcula el ángulo de la pendiente, calcula la protección vertical del diferencial de área con el seno" el ángulo de la pendiente no seria $\alpha= \gamma?$ o sea ese seria el ángulo que forma con respecto a la vertical.
Después, para calcular "la proyección vertical del diferencial de área con el seno" la verdad no me doy cuenta como hacerlo. Como calculo,en primer lugar ese $dA?$. Luego me imagino que la proyección de ese diferencial con el seno seria $dA*sen(\gamma)$
Me darías una mano con las cuentas?? Desde ya, muchas gracias!

[Richard R Richard]

Hola aver si sale

del diferencial de fuerza sobre la superficie es

$\dd F=P\,\dd A$

osea

$\dd F=\rho g h \,\dd S \sin \gamma$

si fuera un único fluido

si bien

$\dd S=\dfrac{a \,\dd x}{2\sin\gamma}<br />$

la presión a la altura h es

$P_{(h)}=\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2gh$

y por trigonometría

$h=\tan \gamma \dfrac{x}{2}$

luego

$F=\dst 2\int\limits_0^{\frac a2}\left(\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2gh<br /> \right)\dfrac{a }{2\sin\gamma}\sin \gamma \,\dd x<br />$

$F=\dst \int\limits_0^{\frac a2}\left(\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2gh<br /> \right) a \,\dd x<br />$

[JCB]

Hola a tod@s.

Interpreto que el enunciado solicita la fuerza que ejercen los dos fluidos y la presión ambiente $p_0$ sobre las dos caras inferiores (las que forman un ángulo $2\gamma$ entre ellas) del objeto.

Por el contrario, si el enunciado solicitase el empuje de Arquímedes (la diferencia entre la fuerza de la presión sobre las caras inferiores y la fuerza de la presión sobre la cara superior), entonces la respuesta sería la dada por Jaime Rudas en su mensaje # 2.

De esta manera, llego a una expresión similar a la de Richard. Considerando a $y$, la altura medida en dirección vertical y sentido hacia abajo, desde donde acaba la arista vertical del cuerpo,



$p=p_0+\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2gy$. Efectuando un cambio de variable donde $z$ es la distancia en la dirección de la arista, $\dfrac{y}{z}=\sin\theta=\cos\gamma$, $y=z\cos\gamma$,

$p=p_0+\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2gz\cos\gamma$. Siendo los tres primeros términos constantes.

La fuerza total en una cara inferior del cuerpo (con dirección perpendicular a ella) es

$F=\displaystyle\int_{A}pdA=[p_0+\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)]A+\rho_2g\cos\gamma\displaystyle\int_{A}zdA$. Como $\displaystyle\int_{A}zdA=z_GA$ (por definición del cdg),

$F=[p_0+\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2g\cos\gamma z_G]A$.

La componente vertical de la fuerza en una cara, la obtenemos multiplicando por $\sin\gamma$. La componente vertical de la fuerza debida a las dos caras, la obtenemos multiplicando por 2,

$F_y=2[p_0+\rho_1gh_1+\rho_2g(a-d)+\rho_2g\cos\gamma z_G]A\sin\gamma$.

Mediante Trigonometría, obtenemos también $z_G$ y $A$,

$z_G=\dfrac{a}{4}\sqrt{1+\dfrac{1}{\tan^2\gamma}}$.

$A=\dfrac{a^2}{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{\tan^2\gamma}}$.

Saludos cordiales,
JCB.