Calcular velocidad y presión para tubería en la que su área cambia con la altura

[juan991]

Suponiendo que se tiene una tubería conectada a un tanque abierto a la atmósfera en su parte superior, tanque del cual despreciaremos la altura de su nivel de agua. Supongamos ahora que esta tubería varios metros mas abajo aumenta su área en un factor de 3.
¿Si queremos calcular la velocidad de salida en la parte de mayor sección, la diferencia de presión entre la salida y la atmósfera, la velocidad en la parte de menor sección (Entrada) y la presión en esta misma parte (Con la presión en la entrada me refiero a la diferencia de presión entre la atmósfera y la presión negativa que favorecería la "succión" de agua), seria valido el siguiente procedimiento?


Velocidad el la salida: $\sqrt{2gh}$
Presión en la salida: $dgh$

Velocidad el la entrada: $3\sqrt{2gh}$
Presión en la entrada: $3dgh$ (Con esta presión me refiero a la presión con la cual el agua sera "succionada" del tanque a presión atmosférica hacia la tubería)


Adjunto una imagen para un mejor entendimiento:



Muchas gracias de antemano y agradezco profundamente cualquier aporte!!

[JCB]

Hola a tod@s.

Para que el ejercicio sea consistente, creo que no se puede suponer que la altura del depósito sea negligible, pues en tal caso, si llamamos 1 al punto superior de la tubería, $v_1=0$, llegando a una incoherencia, ya que no entraría agua en la tubería. Supongo entonces, que la superficie libre del agua del depósito se encuentra a una altura $z_0$ y aplico Bernoulli (sin tener en cuenta a las pérdidas de carga) entre el punto 0 y el punto 2 (de descarga libre a la atmósfera). Para simplificar, también establezco que $z_2=0$.

$\cancelto{0}{\dfrac{p_0}{\rho g}}+z_0+\cancelto{0}{\dfrac{v_0^2}{2g}}=\cancelto{0}{\dfrac{p_2}{\rho g}}+\cancelto{0}{z_2}+\dfrac{v_2^2}{2g}$

$v_2=\sqrt{2gz_0}$

Considerando la ecuación de continuidad (conservación de la masa), resulta

$Q=v_1S_1=v_2S_2$. Como $S_2=3S_1$,

$$v_1=3v_2=\sqrt{18gz_0}$$

Ahora aplico Bernoulli entre el punto 0 y el punto 1.

$\cancelto{0}{\dfrac{p_0}{\rho g}}+z_0+\cancelto{0}{\dfrac{v_0^2}{2g}}=\dfrac{p_1}{\rho g}+z_1+\dfrac{v_1^2}{2g}$

Sustituyendo la expresión (1) y despejando,

$\dfrac{p_1}{\rho g}=-8z_0-z_1$

$p_1=-\rho g(8z_0+z_1)$

Para finalizar, bastaría aplicar Bernoulli entre el punto 1 y el punto 2, para comprobar la coherencia de los resultados obtenidos.

Saludos cordiales,
JCB.

[juan991]

Hola a tod@s.

Para que el ejercicio sea consistente, creo que no se puede suponer que la altura del depósito sea negligible, pues en tal caso, si llamamos 1 al punto superior de la tubería, $v_1=0$, llegando a una incoherencia, ya que no entraría agua en la tubería. Supongo entonces, que la superficie libre del agua del depósito se encuentra a una altura $z_0$ y aplico Bernoulli (sin tener en cuenta a las pérdidas de carga) entre el punto 0 y el punto 2 (de descarga libre a la atmósfera). Para simplificar, también establezco que $z_2=0$.

$\cancelto{0}{\dfrac{p_0}{\rho g}}+z_0+\cancelto{0}{\dfrac{v_0^2}{2g}}=\cancelto{0}{\dfrac{p_2}{\rho g}}+\cancelto{0}{z_2}+\dfrac{v_2^2}{2g}$

$v_2=\sqrt{2gz_0}$

Considerando la ecuación de continuidad (conservación de la masa), resulta

$Q=v_1S_1=v_2S_2$. Como $S_2=3S_1$,

$$v_1=3v_2=\sqrt{18gz_0}$$

Ahora aplico Bernoulli entre el punto 0 y el punto 1.

$\cancelto{0}{\dfrac{p_0}{\rho g}}+z_0+\cancelto{0}{\dfrac{v_0^2}{2g}}=\dfrac{p_1}{\rho g}+z_1+\dfrac{v_1^2}{2g}$

Sustituyendo la expresión (1) y despejando,

$\dfrac{p_1}{\rho g}=-8z_0-z_1$

$p_1=-\rho g(8z_0+z_1)$

Para finalizar, bastaría aplicar Bernoulli entre el punto 1 y el punto 2, para comprobar la coherencia de los resultados obtenidos.

Saludos cordiales,
JCB.

Buenas, agradezco tu respuesta.
Ya entendido esto me gustaría agregar una segunda pregunta a este problema.

¿Suponiendo que en $z_1$ se instalase una turbina, que potencia esta podría generar?
¿Serian válidos los siguientes cálculos?

$P_ot=p_1Q$

Sustituyendo:
$P_ot=\rho g(8z_0+z_1)\sqrt{18gz_0}S_1$

Saludos y gracias de antemano.

[JCB]

Hola a tod@s.

Al contrario que una bomba hidráulica, una turbina no se instala en una zona intermedia de una tubería (tubería de aspiración - bomba hidráulica - tubería de impulsión), sino en la zona final de descarga, para poder aprovechar toda la energía del agua (de presión, de altura y de velocidad).

Dicho esto y pensando en una turbina Pelton, estando el punto 3 a la salida de la turbina, y aplicando Bernoulli entre el punto 0 y el punto 3,

$\cancelto{0}{\dfrac{p_0}{\rho g}}+z_0+\cancelto{0}{\dfrac{v_0^2}{2g}}-H_T=\cancelto{0}{\dfrac{p_3}{\rho g}}+\cancelto{0}{z_3}+\cancelto{0}{\dfrac{v_3^2}{2g}}$

$H_T=z_0$

Es decir, en ausencia de rozamientos, la energía que puede extraer la turbina, coincide con la altura de la superficie libre del líquido. Si lo prefieres, podrías aplicar Bernoulli entre los puntos 2 y 3, llegando al mismo resultado.

Finalmente $P=Q\rho gH_T=Q\rho gz_0$

Saludos cordiales,
JCB.

[juan991]

Hola a tod@s.

Al contrario que una bomba hidráulica, una turbina no se instala en una zona intermedia de una tubería, sino en la zona final de descarga, para poder aprovechar toda la energía del agua (de presión, de altura y de velocidad).

Dicho esto y pensando en una turbina Pelton, estando el punto 3 a la salida de la turbina, y aplicando Bernoulli entre el punto 0 y el punto 3,

$\cancelto{0}{\dfrac{p_0}{\rho g}}+z_0+\cancelto{0}{\dfrac{v_0^2}{2g}}-H_T=\cancelto{0}{\dfrac{p_3}{\rho g}}+\cancelto{0}{z_3}+\cancelto{0}{\dfrac{v_3^2}{2g}}$

$H_T=z_0$

Es decir, en ausencia de rozamientos, la energía que puede extraer la turbina, coincide con la altura de la superficie libre del líquido. Si lo prefieres, podrías aplicar Bernoulli entre los puntos 2 y 3, llegando al mismo resultado.

Finalmente $P=Q\rho gH_T=Q\rho gz_0$

Saludos cordiales,
JCB.

Buenas, gracias por su respuesta.

No entiendo por qué no sería posible instalar la turbina entre $z_0$ y $z_1$, ya que por debajo este punto existe una columna de agua sometida a la aceleración de la gravedad. Suponiendo que el agua llena todos los espacios en la tubería, la columna debería generar una succión en el agua que yace en $z_0$, una succión que debería suceder gracias a la diferencia entre la presión atmosférica en $z_0$ y a la presión negativa producida por la columna de agua inferior al punto. Seria con esta diferencia de presión y con el caudal que circularía por este punto que calcularía la potencia.

¿En qué punto estaría fallando mi razonamiento?


Gracias realmente por su tiempo. Saludos cordiales.

[JCB]

Hola a tod@s.

No he escrito en ningún momento que no se pueda instalar una turbina en el punto 1. Lo que he escrito, es que no es lo habitual, porque de esta manera se desaprovecha parte de la energía del agua. Si aplico Bernoulli considerando la instalación de la turbina en el punto 1 (entrada de la tubería), llego a que

$H_T=z_0-\dfrac{v_2^2}{2g}$

Aunque hay un pequeño pero: $v_2$ ya no es igual a $\sqrt{2gz_0}$. $v_2$ sería desconocida, porque no se pueden aplicar las condiciones de cálculo descritas en mi mensaje # 2.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a todos, encuentro lógico y correcto, la solución aportada por JCB en sus mensajes 2 y 4, no estoy muy convencido con el argumento del mensaje 6, solo aporto un matiz.
En la práctica toda turbina funciona por el impacto controlado del flujo de agua sobre sus palas, si bien puedes ir elevando la altura de instalación de la turbina desde el punto 2 hasta el 0, verás que siempre se instalan más cerca del 2 que del 1., La razón es que habiendo un gran salto h aprovechable por hacerlo menor elevando la turbina.
Una pequeña elevación es necesaria para curvar el flujo nuevamente al cause mediante un vertedero.
Además las palas de la turbina ejercen resistencia al flujo, que aquí no estás teniendo en cuenta, pero eso hace que detrás de las palas se genere una zona de baja presión sumada a la succión de la columna de agua de la columna inferior crean zonas de muy baja presión propicias para la cavitación, dónde además de reducir la vida útil genera vibraciones en los generadores.
La potencia en general es

$P=p.Q=F.v=\rho g h Q$

[juan991]

Hola a todos, encuentro lógico y correcto, la solución aportada por JCB en sus mensajes 2 y 4, no estoy muy convencido con el argumento del mensaje 6, solo aporto un matiz.
En la práctica toda turbina funciona por el impacto controlado del flujo de agua sobre sus palas, si bien puedes ir elevando la altura de instalación de la turbina desde el punto 2 hasta el 0, verás que siempre se instalan más cerca del 2 que del 1., La razón es que habiendo un gran salto h aprovechable por hacerlo menor elevando la turbina.
Una pequeña elevación es necesaria para curvar el flujo nuevamente al cause mediante un vertedero.
Además las palas de la turbina ejercen resistencia al flujo, que aquí no estás teniendo en cuenta, pero eso hace que detrás de las palas se genere una zona de baja presión sumada a la succión de la columna de agua de la columna inferior crean zonas de muy baja presión propicias para la cavitación, dónde además de reducir la vida útil genera vibraciones en los generadores.
La potencia en general es

$P=p.Q=F.v=\rho g h Q$

Buenas, gracias por su respuesta.

Entiendo entonces que instalar la turbina en la parte superior de la tubería traería problemas propios de tener presiones negativas como la cavitación. ¿Es así?
¿Pero no existiría entonces un desperdicio de metros de columna de agua como menciona JCB, no?

¿Estoy entendiendo bien?
¿De ser ese el caso, sería correcto aplicar las fórmulas que describí en el mensaje #3?

Saludos cordiales.

[Richard R Richard]

¿De ser ese el caso, sería correcto aplicar las fórmulas que describí en el mensaje #3?

No, ya que la potencia de la turbina depende del total el salto, es decir de $h$ o de $z_o$ tu has puesto $p_1$ y en realidad es $p_2$ (la presión que produce la columna de agua desde el máximo nivel del embalse hasta el mínimo, )

La '''potencia de una central hidroeléctrica''' se calcula mediante la fórmula siguiente:

$P_e = \rho \cdot g \cdot\eta_t \cdot\eta_g \cdot\eta_m \cdot Q \cdot h$
donde:
$P_e$ = potencia eléctrica en kilovatios (kW)
$\rho$ = densidad del fluido en kg/m³
$g$ = aceleración de la gravedad (m/s²)
$\eta_t$=rendimiento de la turbina hidráulica (entre 0.75 y 0.94)
$\eta_g$= rendimiento del generador eléctrico (entre 0.92 y 0.97)
$\eta_m$ = rendimiento mecánico del acoplamiento turbina alternador (0.95/0.99)
$Q$ = Caudal turbinable en m³/s
$h$ = desnivel disponible en la represa entre aguas arriba y aguas abajo, en metros

fuente: wikipedia

si los rendimientos son ideales =1

$P_e = \rho \cdot g\cdot Q \cdot h$

y si $p_2=\rho \cdot g \cdot h$

$P_e=p_2Q$

Entiendo que si $h_t$ es la altura de la turbina desde el nivel de aguas abajo, y es mayor o cercana al la diferencia entre $h$ y $h_t$ en $10 m$ entonces habrá presión negativa debajo del rodete, y habrá cavitación.

$h_t-(h-h_t)=2h_t-h\leq 10m \to \equiv 1 atm$

$h_t\leq h/2-5m$ y eso se cumple siempre en la practica.

ten en cuenta esto que es importante ,

Hola a tod@s.

Para que el ejercicio sea consistente, creo que no se puede suponer que la altura del depósito sea negligible, pues en tal caso, si llamamos 1 al punto superior de la tubería, $v_1=0$, llegando a una incoherencia, ya que no entraría agua en la tubería.

La longitud de la tubería no llega nunca hasta el nivel de superficie.

[juan991]

Buenas, gracias a todos por sus respuestas.
Con este mensaje ya me queda claro todo.
Nuevamente muchas gracias.

Saludos cordiales.