1r ciclo Fluido en un cilindro en rotación

[Syik]

La figura nos representa un recipiente cilíndrico de radio a = 40 cm que contiene aceite de densidad 800 kg /m3, que se encuentra girando alrededor de su eje de simetría a razón de 60 rpm; el aceite está a punto de salirse del recipiente y tiene profundidad nula en el centro del fondo. Calcular: 1) La altura b del cilindro. 2) La fuerza ejercida por el aceite sobre el fondo.


Es un ejercicio del Burbano, lo que yo he planteado es la segunda ley de newton de la siguiente forma para la parte izquierda de la figura ya que en ella la fuerza resultante actúa en la dirección positiva del eje x:

$\dst -\frac{dm}{\rho}\vec{\nabla}p-dmg\hat{\jmath}=dm{\omega}^{2}x\hat{\imath}$

$\dst -\frac{1}{\rho}\vec{\nabla}p-g\hat{\jmath}={\omega}^{2}x\hat{\imath}$

Con esto, separándolo en componentes, en primera instancia descubro que p no varía si nos movemos en z y en los otros dos casos:

$\dst -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x }={\omega}^{2}x$

$\dst dp=-\rho {\omega}^{2}x \partial x$

Integrando:

$\dst\Delta {p}_{x}=-\frac{\rho {\omega}^{2}\Delta {x}^{2}}{2}$

Y procediendo de igual manera, en las componentes verticales llego a la conocida expresión:

$\dst \Delta{p}_{y}=-\rho g\Delta y$

(Los subíndices x e y son solo para denotar que es la variación obtenida al movernos sobre dichos ejes)
Pero a partir de aquí ya no se que hacer, he pensado en que el límite del fluido podría ser una isobara pero no se como demostrarlo y ni si quiera confío en esa hipótesis. ¿Cómo puedo continuar?

Por cierto, las etiquetas de 1r ciclo y 2o ciclo, ¿a qué cursos hacen mención exactamente?

[HanT]

Re: Fluido en un cilindro en rotación

Ahora mismo no tengo tiempo pero la hipótesis de que la interfase entre el aire y el líquido es una isóbara es correcta. Ten en cuenta que, de hecho, está a la presión atmosférica en cada punto (de igual manera que cuando el sistema no está acelerado su interfase horizontal también lo está).

[Alriga]

Re: Fluido en un cilindro en rotación

Hola Syik, mira Forma de la superficie de un líquido en rotación en donde encontrarás la deducción.

Saludos.

[Syik]

Re: Fluido en un cilindro en rotación

Gracias a ambos, no obstante, Alriga, creo que lo que me dices no es válido en este caso, pues en el artículo que has pasado toman el SR justo en la superficie del líquido cuando no está sometido a fuerzas centrífugas para poder decir que $\int ydx=0$. Pero lo que necesito hallar aquí es la altura del cilindro, así que tendría que sumarle la distancia al fondo que sería el valor que toma la función cuando x vale 0, o sea, el valor de c (en valor absoluto). ¿Cierto?

[Alriga]

Re: Fluido en un cilindro en rotación

... Alriga, creo que lo que me dices no es válido en este caso, pues en el artículo que has pasado toman el SR justo en la superficie del líquido cuando no está sometido a fuerzas centrífugas ....

Tienes razón.

Se me ocurre una cosa, como se trata de un cilindro en rotación el problema tiene simetría cilíndrica, ¿por que no planteas el gradiente de presión en coordenadas cilíndricas? Casi seguro que la resolución será más fácil.

Saludos.

[Syik]

Re: Fluido en un cilindro en rotación

Es que solo conozco las coordenadas cartesianas... Aunque tras tú comentario voy a ver si puedo aprenderlo...

[Alriga]

Re: Fluido en un cilindro en rotación

Todo este tema lo tengo super olvidado, pero voy a intentarlo. En coordenadas cilíndricas.

$dp=\dfrac{\partial p}{\partial r} dr+\dfrac{\partial p}{\partial \theta} d\theta+\dfrac{\partial p}{\partial z} dz$

Aplicándolo a este caso:

$\dfrac{\partial p}{\partial r}=\rho \omega^2 r$

$\dfrac{\partial p}{\partial \theta}=0$

$\dfrac{\partial p}{\partial z}=-\rho g$

Sustituyendo

$dp=\rho \omega^2 r dr-\rho g dz$

Integrando:

$\dst \int_{p_0}^p dp=\int_{r_0}^r \rho \omega^2 r dr-\int_{z_0}^z \rho g dz$

$p-p_0=\dfrac{\rho\omega^2}2 (r^2-r_0^2)-\rho g (z-z_0)$

En el punto en el que $r_0=0$ $p_0=p_{atm}$ y $z_0=0$

$p-p_{atm}=\dfrac{\rho\omega^2}2 r^2-\rho g z$

Los puntos de la superficie del líquido cumplen $p=p_{atm}$ por lo tanto cumplen

$0=\dfrac{\rho\omega^2}2 r^2-\rho g z$

$z=\dfrac{(\omega r)^2}{2 g}$

La altura del cilindro:

$b=\dfrac{(\omega a)^2}{2 g}$

Saludos.