2o ciclo Derivadas locales y totales.

[escarabajo]

Hola.

Quería saber si alguien puede darme alguna noción "intuitiva" sobre derivadas locales y totales de las magnitudes "puntuales" y "globales" referidas al estudio de los movimientos de fluidos.

Se me está haciendo un poco dificil entender el concepto y la diferencia entre ambas.

Desde ya muchas gracias a quien me de una mano.

Saludos.

[alefriz]

Re: Derivadas locales y totales.

Hola.

Quería saber si alguien puede darme alguna noción "intuitiva" sobre derivadas locales y totales de las magnitudes "puntuales" y "globales" referidas al estudio de los movimientos de fluidos.

Se me está haciendo un poco dificil entender el concepto y la diferencia entre ambas.

Desde ya muchas gracias a quien me de una mano.

Saludos.

Mira esta página: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuacio..._Navier-Stokes

Derivada total = Derivada sustancial

[escarabajo]

Re: Derivadas locales y totales.

Hola

Gracias por la respuesta. Te cuento un problema que tengo, a ver si entendí bien!

Tengo una región H como la que se indica en la figura, A1 es el área de la sección de entrada, A2 la de salida, y v1,v2, son las respectivas velocidades uniformes en dichas fronteras de H.

Los datos conocidos son A1,A2 y v1.

Me piden calcular la derivada total de la cantidad de movimiento Q, $Q=\displaystyle \int _H \rho vdV$, siendo el movimiento estacionario y con un fluido incompresible.

Mi respuesta es que la cantidad de movimiento Q se conserva.

Como el movimiento es estacionario, la derivada local es nula. ¿Cierto? Es decir, las partes de fluido que van ocupando en distintos tiempos la región H tienen la misma cantidad de movimiento. Por lo tanto la variación está asociado al flujo en las fronteras:

$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=\int _{\partial H}\rho (v\cdot n)dS=\int _{A_2}\rho v_2 dS-\int _{A_1}\rho v_1 dS=\rho (A_2v_2-A_1v_1)$

Luego, tenémos que el fluido es incompresible por lo que debe cumplirse si no me equivoco

$A_2v_2-A_1v_1=0$. Es decir, el cambio de volumen de la parte de fluido se mantiene nulo.

Utilizando ambas relaciones llego a que la derivada total de Q es nula.

¿He razonado bien?

Muchas gracias!

[alefriz]

Re: Derivadas locales y totales.

Hola

Gracias por la respuesta. Te cuento un problema que tengo, a ver si entendí bien!

Tengo una región H como la que se indica en la figura, A1 es el área de la sección de entrada, A2 la de salida, y v1,v2, son las respectivas velocidades uniformes en dichas fronteras de H.

Los datos conocidos son A1,A2 y v1.

Me piden calcular la derivada total de la cantidad de movimiento Q, $Q=\displaystyle \int _H \rho vdV$, siendo el movimiento estacionario y con un fluido incompresible.

Mi respuesta es que la cantidad de movimiento Q se conserva.

Como el movimiento es estacionario, la derivada local es nula. ¿Cierto? Es decir, las partes de fluido que van ocupando en distintos tiempos la región H tienen la misma cantidad de movimiento. Por lo tanto la variación está asociado al flujo en las fronteras:

$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=\int _{\partial H}\rho (v\cdot n)dS=\int _{A_2}\rho v_2 dS-\int _{A_1}\rho v_1 dS=\rho (A_2v_2-A_1v_1)$

Luego, tenémos que el fluido es incompresible por lo que debe cumplirse si no me equivoco

$A_2v_2-A_1v_1=0$. Es decir, el cambio de volumen de la parte de fluido se mantiene nulo.

Utilizando ambas relaciones llego a que la derivada total de Q es nula.

¿He razonado bien?

Muchas gracias!

Correcto,

Al ser un fluido incompresible (líquido), de las ecuaciones de Navier-Stokes se deriva la ecuación de continuidad para flujo incompresible, donde la divergencia de la velocidad ($\vec{v} = (u,v,w)$) es nula:

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$$

Ecuación Navier-Stokes (conservación momento lineal):

$$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla P + \rho \vec{g} + \mu \nabla^2 \vec{v}$$

Si sustituyes el vector velocidad, cuya única componente es según el eje x, verás que la derivada sustancial ($\frac{D\vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v} \cdot \nabla v$) es nula en esa dirección (por no existir diferencia de presiones, ni campo gravitatorio según x, y por ser fluido incompresible, la laplaciana es nula al cumplir la ecuación (1)).

Por todo esto el caudal se conserva en ambas secciones, cumpliéndose que:

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

[escarabajo]

Re: Derivadas locales y totales.

Muchas gracias alefriz!!!