1r ciclo La hipótesis del medio continuo

[arreldepi]

El otro día, en clase de fluidos, después de explicar por qué un fluido es un medio continuo, nos preguntó si en el espacio, que la densidad de gas es de:

$\dfrac{\textrm{1 mol\'{e}cula}}{\textrm{cm}^3}$

También podíamos considerar que era un medio continuo. Al final nos dijo, que esa pregunta así no tenía respuesta. Dijo que teníamos que decir la "medida" del objeto que viajaba por el espacio. Que, por ejemplo, para un satélite de un metro cúbico no sería contínuo, pero que para la tierra sí que lo era.

Yo en este punto me perdí un poco, ya que no entiendo que tiene que ver la medida del objeto con que el medio sea continuo o no.

Estaría agradecido si alguien puede aclarar esto y también un poco la condición general para considerar que algo es continuo o no, como por ejemplo, los fluidos.

Muchas gracias!

Un saludo!

[pod]

Re: La hipótesis del medio continuo

No es una hipótesis (si lo fuera, sería experimentalmente falsa ), es una aproximación. Todas las aproximaciones son válidas en determinadas escalas. Por ejemplo, nosotros podemos tratar los sólidos como continuos ya que la separación entre átomos es del orden de los nanómetros, distancias demasiado pequeñas para que podamos diferenciarlas.

Por otro lado, si estás tratando el universo en su conjunto, tienes distancias del orden de miles de millones de años luz, así que la distancia media entre partículas (del orden del cm según tu profesor) es ridícula.

[Metaleer]

Re: La hipótesis del medio continuo

Básicamente se trata de lo que dice pod, es una aproximación (aunque en la bibliografía es común tratar este asunto bajo el nombre de "Hipótesis del Continuo").

El asunto es el siguiente: todo depende de la precisión que nosotros estamos buscando. Si las fluctuaciones que se dan en las magnitudes físicas debidas al carácter discreto de la materia son lo suficientemente pequeñas, la aproximación del continuo es válida. En Termodinámica se tiene una situación parecida, las magnitudes que ahí se manejan de forma corriente son una especie de media de esencialmente infinitas variables microscópicas (Física o Mecánica Estadística).

Se puede demostrar que si queremos medir la densidad másica de un pequeño volumen hasta una precisión relativa $\epsilon$, la longitud de la arista del cubo mínimo (es decir, restringida por la precisión relativa) es

$\displaystyle L_{\text{micro}} \approx \epsilon^{-2/3} L_{\text{mol}},$

donde $\displaystyle L_{\text{mol}} = \left ( \frac{M_{\text{mol}}}{\rho N_A} \right ) ^{1/3}$, con $M_{\text{mol}}$ la masa molecular de la sustancia, $\rho$ su densidad y $N_A$ el número de Avogadro.

Por otra parte una descripción satisfactoria del medio continuo requiere que no ha de haber una variación de densidad que se pueda apreciar entre volúmenes microscópicos contiguos (condición sujeta de nuevo a la precisión relativa). Existirá un cubo de longitud de arista $L$ donde esto ya ocurre, es decir, donde ya no se nota un cambio apreciable en su densidad. Se puede demostrar que esto ocurrirá cuando

$\displaystyle L > \frac{1}{\epsilon}L_{\text{micro}}.$

Si suponemos por ejemplo $\epsilon = 1 \% = \frac{1}{100}$, entonces

$\displaystyle L > \frac{1}{\epsilon}L_{\text{micro}} = 100 L_{\text{micro}},$

que sustituyendo los datos para el aire en condiciones normales, viene a ser unos $10~\mu \text{m}$.

Las interfaces entre cuerpos macroscópicos suele ser menor que $\displaystyle \frac{1}{\epsilon}L_{\text{micro}}$, y por tanto estas regiones quedan fuera del estudio de la materia como medio continuo, modelándose como discontinuidades.

Saludos.