flotador esférico

[alefriz]

Aqui va un problema que me está dando que pensar:

1) Se tiene una esfera de densidad $\rho_e$ y radio $R$, y se introduce en un liquido de densidad $\rho_a$. Hallar la porción $d$ (distancia desde la superficie del agua hasta el punto más bajo de la esfera) que queda sumergida de la esfera si queda flotando.

2) Si la esfera anterior la metemos en un recipiente (de base rectangular) que contiene el mismo líquido, ¿cuánto sube (medido desde la base del recipiente) el nivel del líquido respecto a la altura inicial al introducir la esfera? El recipiente tiene unas dimensiones en la base de $a$ y $b$, y una altura inicial de líquido $c$.

[Dj_jara]

Re: flotador esférico

1)
Por el principio de Arquímedes
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[alefriz]

Re: flotador esférico

1)
Por el principio de Arquímedes
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Perdón por no haber explicado mejor lo que decia el enunciado. En (1) se busca la distancia desde la superficie del líquido hasta el punto más bajo de la esfera, es decir la "longitud" de esfera (en sentido vertical) que queda sumergida.

[pod]

Re: flotador esférico

Perdón por no haber explicado mejor lo que decia el enunciado. En (1) se busca la distancia desde la superficie del líquido hasta el punto más bajo de la esfera, es decir la "longitud" de esfera (en sentido vertical) que queda sumergida.

Para hacer esto necesitas calcular el volumen de la esfera hasta una altura $d$ del fondo. Lo más fácil es situar el cero de alturas $z=0$ en el centro de la esfera, por lo tendríamos $d = R + z$. Entonces todo se reduce a la integral triple

$V(d) = \int_{-R}^z \mathrm{d}z \int_0^{\sqrt{R^2-z^2}} r\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2 \pi \frac{1}{2} \int_{-R}^z \mathrm{d}z \big( R^2 - z^2 \big) = \pi \left[ R^2 z - \frac13 z^3 + \frac23 R^3 \right] \ .$

Pasamos a expresarlo en función de $h$ usando $z=d-R$,

$V(d) = \pi \left( - \frac13 d^3 + d^2 R \right) \ .$

Para obtener el resultado, basta con igualar el resultado de dj_jara,

$V(d) = \frac{\rho_e}{\rho_a} \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi \left( - \frac13 d^3 + d^2 R \right)\ ,$

que es una ecuación de tercer grado para $d$. Por lo general no son fáciles de resolver analíticamente. Lo mejor es resolverlas numéricamente una vez substituidos los valores numéricos. Por ejemplo, si $\rho_a = 2 \rho_e$ y $R = 1\mathrm{m}$, tenemos $d = 1\mathrm{m}$ (lo cual no es muy sorprendente ).