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¿Qué es Loop Quantum Gravity?
LQG es una propuesta no perturbativa de teoría gravedad cuántica. (Para una discusión más divulgativa pulsa aquí)
Notemos el uso de la palabra propuesta y no de teoría ya que ni se ha completado su estudio ni, mucho menos, ha pasado los pertinentes test, ni tan siquiera teóricos, de consistencia matemática u observacional.
LQG no intenta una unificación de las interacciones y la materia (entendiendo materia todos aquellos campos que no son interacciones y cuyas excitaciones en un fondo Minkowski dan lugar a las partículas conocidas).
El objetivo más primordial de LQG es la de presentar una cuantización de la gravedad según la relatividad general en cuatro dimensiones.
El proceso de cuantización se fundamenta en un formalismo canónico, en otras palabras, se intenta llegar a una formulación Hamiltoniana de la RG y cuantizarla. El punto clave es que LQG no usa un fondo geométrico prefijado, es decir, no se dispone de una métrica dada en el espaciotiempo, lo cual es lo que nos exige RG.
Esta independencia del fondo métrico conlleva que hay que considerar nuevas técnicas para estudiar la teoría cuántica, que en su formulación estándar hace un uso extensivo de dicha métrica prefijada. La estructura de la teoría cuántica de campos usual (QFT), la relacionada con el modelo estándar, está intimamente ligada a la existencia de dicha métrica prefijada e inmutable.
¿Cómo se cuantiza en LQG?
Para una discusión sobre qué es cuantizar (canónicamente) pulsa
1.- Necesitamos “descomponer” el espaciotiempo de cuatro dimensiones en hipersuperficies espaciales y una dirección temporal. Evidentemente esta “descomposición” es arbitraria. En términos matemáticos, necesitamos que el espaciotiempo presente una foliación en hojas tridimensionales en las que la métrica inducida es euclídea. Para que esto sea posible se ha de exigir que el espaciotiempo sea globalmente hiperbólico, que por otro lado es una hipótesis muy natural ya que es la que se necesita para tener un problema de condiciones iniciales bien puesto y la posibilidad de describir espinores en el espaciotiempo (que son esenciales para la descripción de los fermiones.
Además esta descomposición es esencial para desarrollar un formalismo Hamiltoniano como es conocido en mecánica clásica.
2.- Luego hemos de elegir las variables canónicas de la teoría. El LQG se elige traducir la RG, clásicamente, de métricas a una conexión. Como sabemos en RG la métrica es el objeto dinámico de la teoría, pero se puede reescribir la misma en términos de una conexión (que no es la de Levi-Civita), que se denomina variable de Ashtekar. Dado que las teorías gauge (tipo Yang-Mills) se describen mediante conexiones se puede comprobar que el espacio de fases de la RG descrita en términos de conexiones coincide con el de una teoría de Yang-Mills.
3.- RG ya desde un punto de vista clásico es una teoría completamente parametrizada, o lo que es lo mismo, su Hamiltoniano es una combinación de ligaduras. Esto quiere decir que el Hamiltoniano se anula sobre la capa de masas, o en palabras más llanas, que se anula sobre las soluciones de la teoría. Así que tenemos que aprender como tratar estas ligaduras (que son de primera clase en la terminología de Dirac) en el ámbito cuántico.
Descripción del método de cuantización empleado en LQG: Método de Dirac.
1.- En primer lugar buscamos una representación de los campos básicos (clásicos) de la teoría en términos de operadores sobre un determinado espacio de Hilbert que se denomina espacio de Hilbert cinemático . Es decir, buscamos como promover las funciones clásicas a operadores y los estados que corresponden a estados propios de dichos operadores. (Esto es lo que se hace en cuántica siempre, por ejemplo para la partícula libre sabemos que su Hamiltoniano es esencialmente la energía cinética así que buscamos la forma de elevarlo a la categoría de operador sobre un cierto espacio de Hilbert, en cuántica es fácil porque tenemos el principio de correspondencia que ayuda bastante).
2.- Luego buscamos los operadores que corresponden a las ligaduras del sistema.
3.- Luego buscamos que estados del están en el kernel conjunto de todos los operadores ligaduras. Recordemos que las ligaduras clásicas se anulan en las soluciones de la teoría, así que cuánticamente los operadores correspondientes tienen que aniquilar los estados físicos de la teoría en cuestión. Estos estados físicos conforman el espacio de Hilbert físico .
4.- Posteriormente buscamos los observables físicos de la teoría, que son aquellas cantidades cuyos operadores asociados conmutan con todas las ligaduras. Con esto nos aseguramos que estos operadores son consistentes con todas las simetrías de la teoría que estamos cuantizando. Todos esos operadores conforman un algebra . Este álgebra claramente deja invariante .
5.- Si conseguimos todo esto tenemos nuestra teoría cuántica que vendrá dada por
Problemillas:
Si tenemos que alguna ligadura contiene el autovalor 0 en la parte continua de su espectro entonces no está contenido en . Así que hay que buscarlo en su dual. Eso pasa en LQG...
¿Qué principios físico apoyan la elección de variables canónicas?¿Qué nos dice que la elección de es correcta?
Para saber si estamos haciendo bien las cosas hemos de testear la cuantización de las ligaduras. Esto equivale a tener un procedimiento para tener un límite semiclásico de la teoría, es decir, qué estados cuánticos corresponden o aproximan un espaciotiempo clásico. Esto no sabemos hacerlo en LQG completamente, solo en casos muy simplificados es posible aproximarse y por otro lado, como no hemos podido resolver la dinámica pues... peor aún...
LQG es una propuesta no perturbativa de teoría gravedad cuántica. (Para una discusión más divulgativa pulsa aquí)
Notemos el uso de la palabra propuesta y no de teoría ya que ni se ha completado su estudio ni, mucho menos, ha pasado los pertinentes test, ni tan siquiera teóricos, de consistencia matemática u observacional.
LQG no intenta una unificación de las interacciones y la materia (entendiendo materia todos aquellos campos que no son interacciones y cuyas excitaciones en un fondo Minkowski dan lugar a las partículas conocidas).
El objetivo más primordial de LQG es la de presentar una cuantización de la gravedad según la relatividad general en cuatro dimensiones.
El proceso de cuantización se fundamenta en un formalismo canónico, en otras palabras, se intenta llegar a una formulación Hamiltoniana de la RG y cuantizarla. El punto clave es que LQG no usa un fondo geométrico prefijado, es decir, no se dispone de una métrica dada en el espaciotiempo, lo cual es lo que nos exige RG.
Esta independencia del fondo métrico conlleva que hay que considerar nuevas técnicas para estudiar la teoría cuántica, que en su formulación estándar hace un uso extensivo de dicha métrica prefijada. La estructura de la teoría cuántica de campos usual (QFT), la relacionada con el modelo estándar, está intimamente ligada a la existencia de dicha métrica prefijada e inmutable.
¿Cómo se cuantiza en LQG?
Para una discusión sobre qué es cuantizar (canónicamente) pulsa
1.- Necesitamos “descomponer” el espaciotiempo de cuatro dimensiones en hipersuperficies espaciales y una dirección temporal. Evidentemente esta “descomposición” es arbitraria. En términos matemáticos, necesitamos que el espaciotiempo presente una foliación en hojas tridimensionales en las que la métrica inducida es euclídea. Para que esto sea posible se ha de exigir que el espaciotiempo sea globalmente hiperbólico, que por otro lado es una hipótesis muy natural ya que es la que se necesita para tener un problema de condiciones iniciales bien puesto y la posibilidad de describir espinores en el espaciotiempo (que son esenciales para la descripción de los fermiones.
Además esta descomposición es esencial para desarrollar un formalismo Hamiltoniano como es conocido en mecánica clásica.
2.- Luego hemos de elegir las variables canónicas de la teoría. El LQG se elige traducir la RG, clásicamente, de métricas a una conexión. Como sabemos en RG la métrica es el objeto dinámico de la teoría, pero se puede reescribir la misma en términos de una conexión (que no es la de Levi-Civita), que se denomina variable de Ashtekar. Dado que las teorías gauge (tipo Yang-Mills) se describen mediante conexiones se puede comprobar que el espacio de fases de la RG descrita en términos de conexiones coincide con el de una teoría de Yang-Mills.
3.- RG ya desde un punto de vista clásico es una teoría completamente parametrizada, o lo que es lo mismo, su Hamiltoniano es una combinación de ligaduras. Esto quiere decir que el Hamiltoniano se anula sobre la capa de masas, o en palabras más llanas, que se anula sobre las soluciones de la teoría. Así que tenemos que aprender como tratar estas ligaduras (que son de primera clase en la terminología de Dirac) en el ámbito cuántico.
Descripción del método de cuantización empleado en LQG: Método de Dirac.
1.- En primer lugar buscamos una representación de los campos básicos (clásicos) de la teoría en términos de operadores sobre un determinado espacio de Hilbert que se denomina espacio de Hilbert cinemático . Es decir, buscamos como promover las funciones clásicas a operadores y los estados que corresponden a estados propios de dichos operadores. (Esto es lo que se hace en cuántica siempre, por ejemplo para la partícula libre sabemos que su Hamiltoniano es esencialmente la energía cinética así que buscamos la forma de elevarlo a la categoría de operador sobre un cierto espacio de Hilbert, en cuántica es fácil porque tenemos el principio de correspondencia que ayuda bastante).
2.- Luego buscamos los operadores que corresponden a las ligaduras del sistema.
3.- Luego buscamos que estados del están en el kernel conjunto de todos los operadores ligaduras. Recordemos que las ligaduras clásicas se anulan en las soluciones de la teoría, así que cuánticamente los operadores correspondientes tienen que aniquilar los estados físicos de la teoría en cuestión. Estos estados físicos conforman el espacio de Hilbert físico .
4.- Posteriormente buscamos los observables físicos de la teoría, que son aquellas cantidades cuyos operadores asociados conmutan con todas las ligaduras. Con esto nos aseguramos que estos operadores son consistentes con todas las simetrías de la teoría que estamos cuantizando. Todos esos operadores conforman un algebra . Este álgebra claramente deja invariante .
5.- Si conseguimos todo esto tenemos nuestra teoría cuántica que vendrá dada por
Problemillas:
Si tenemos que alguna ligadura contiene el autovalor 0 en la parte continua de su espectro entonces no está contenido en . Así que hay que buscarlo en su dual. Eso pasa en LQG...
¿Qué principios físico apoyan la elección de variables canónicas?¿Qué nos dice que la elección de es correcta?
Para saber si estamos haciendo bien las cosas hemos de testear la cuantización de las ligaduras. Esto equivale a tener un procedimiento para tener un límite semiclásico de la teoría, es decir, qué estados cuánticos corresponden o aproximan un espaciotiempo clásico. Esto no sabemos hacerlo en LQG completamente, solo en casos muy simplificados es posible aproximarse y por otro lado, como no hemos podido resolver la dinámica pues... peor aún...
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