Conservación de la energía

[Entro]

Re: Conservación de la energía

Hay leyes de conservación locales en toda la física, solo que implican que si una cantidad que se supone conservada en una determinada región es porque hay una corriente asociada. Esto se da en el electromagnetismo por poner un ejemplo.

En Relatividad General la cosa es un poco distinta, dado que las leyes de la física han de coincidir con las de la relatividad especial localmente, esto implica que localmente podemos definir las leyes de conservación usual. Otra cosa es definir energía de manera local, cosa que en general no se puede ya que en Relatividad General no tenemos una definición de la coordenada temporal por lo que no podemos identificar las parametrizaciones temporales, que dan lugar a la ley de conservación de la energía vía el Teorema Noether.

[alshain]

Re: Conservación de la energía

No puedo entender como puede conservarse "algo" localmente y que ese "algo" no se conserve globalmente.

La conservación local de algo suele ser una ecuación de continuidad que usa derivadas parciales, es decir, la variación temporal de una densidad (de partículas, fluido, etc.) es igual a la variación espacial del flujo (la densidad por velocidad de esas partículas o fluido) en un volumen infinitesimal. La ecuación de continuidad global es básicamente lo mismo, salvo requiere de sumar a lo largo de un volumen no-infinitesimal y por tanto requiere del uso de integrales. Usualmente, en el caso global la ecuación de continuidad se suele reescribir haciendo uso del teorema de Gauss como la variación de una densidad (de partículas, fluido, etc.) en un volumen frente a la integral del flujo a lo largo de la superficie que contiene al volumen en cuestión. Ahora, el problema con esto en la relatividad general es que sumar vectores en dos puntos diferentes del espacio-tiempo no es una operación con sentido. Esto es debido a que una suma requiere poder comparar ambos o poner ambos en el mismo punto (recuerda la regla del paralelogramo para sumar vectores), pero en un espacio-tiempo en el cual la curvatura es diferente de cero este procedimento depende del camino tomado para ello. Por tanto, tan pronto como existe una integral con vectores, como la integral de superficie del flujo mencionada, el resultado no está bien definido en un caso general.

Un saludo.

[pod]

Re: Conservación de la energía

A la práctica, esto es casi más fácil de ver con el resultado delante que de explicar. La conservación de un corriente se expresa como una derivada tal que así:

$$\partial_\mu j^\mu = \partial_t j^0 - \partial_i j^i = 0\ .$$

Ahora se trata de integrar a todo el volumen, usar el teorema de la divergencia, y suponer que no hay fuentes en el infinito ($j^i = 0$ en la frontera), y de ahí llegamos a una ley de conservación global:

$$\partial_t \int \dd v\ j^0 = 0\ .$$

Ahora bien, si estamos en relatividad general, el principio de equivalencia fuerte nos obliga a cambiar la derivada parcial por la derivada covariante. De esta forma, suponiendo que podamos encontrar una coordenada temporal (que es mucho suponer), y suponiendo que el resto de operaciones tengan sentido (que vuelve a ser mucho suponer, y por lo menos podrían salir algunos factores diferentes) llegaríamos a una expresión, del estilo,

$$\nabla_t \int \dd v\ j^0 = 0\ .$$

El problema, claro, es que $\nabla_t$ es la suma de la derivada temporal más símbolos de la conexión métrica. Y es la suma la que debe ser cero, no cada termino por separado. Es decir, la derivada temporal podría ser diferente de cero: no se conserva.

Ese es el motivo que se deban introducir entidades que no se derivan como tensores (pseudo-tensores) para llegar a una definición más o menos coherente de energía.

[Entro]

Re: Conservación de la energía

A parte de que en relatividad general la corriente se tiene que calcular en función del tensor de momento-energía. Y para definir la cantidad conservada debemos identificar la coordenda t para asegurar que su variación temporal es nula. Pero no podemos hacer esto porque en Relatividad General no podemos identificar el tiempo de manera natural. A no ser que el espaciotiempo tenga unas características determinadas como ser asintóticamente plano.

[pod]

Re: Conservación de la energía

A parte de que en relatividad general la corriente se tiene que calcular en función del tensor de momento-energía. Y para definir la cantidad conservada debemos identificar la coordenda t para asegurar que su variación temporal es nula. Pero no podemos hacer esto porque en Relatividad General no podemos identificar el tiempo de manera natural. A no ser que el espaciotiempo tenga unas características determinadas como ser asintóticamente plano.

Sí, supongo que eso es lo que significa "que es mucho suponer"

[Entro]

Re: Conservación de la energía

Si porque si eso fuera tan facil, la gravedad estaría cuantizada desde el 28 del pasado siglo.

[petruxx]

Re: Conservación de la energía

Llevo tiempo dandole vueltas a la cuestion y parece que al fina expresais ...

¿Pero se conserva la energía a nivel global?

Yo no lo tengo tan claro, creo que es el gran problema de RG.

Las ecuaciones propuestas por alshain son válidas en un contexto cosmológico, evidentemente, pero las definiciones de energías y densidades no son ni mucho menos globales.

Por lo tanto, a la pregunta de si se conserva le energía en el universo (entendiendo la pregunta en general, como creo que es el caso) la única respuesta honesta es:

La pregunta carece de sentido.

Y luego justificar en que casos se puede hablar de energía y de conservación en un contexto de RG.

Saludos

Es decir, que por alguna razon que no acabo de entender, no se puede definir en general, la energia de forma local y por tanto, mucho menos, definirla de forma global. Parece que en los casos en que si se puede definir, entonces es posible plantear su conservacion de forma local y cuando esta se cumple, automaticamente se conserva de manera global.

Este resumen....¿ es cierto?.... o ¿estoy "metiendo la pata"?

[Entro]

Re: Conservación de la energía

La relatividad general se basa en el principio de equivalencia, que se puede formular del siguiente modo:

En todo punto se han de cumplir las leyes de la relatividad especial.

Por tanto, localmente siempre podemos definir energías y su conservación.

El problema está en cuando estamos interesados en regiones o movernos de un punto a otro, y la razón se puede buscar el lo siguiente:

La conservación de la energía según el teorema de Noether está dada por reparametrización temporal. El generador de las transformaciones temporales es el Hamiltoniano y como las teorías son invariantes temporales la energía total se conserva.

Pero en relatividad general una reparametrización temporal no es más que un tipo de transformación de coordenadas. En ella, todas las transformaciones están permitidas, por lo tanto, no podemos diferenciar tiempo de espacio, y eso se ve en el Hamiltoniano, que es indénticamente nulo para relatividad general. Y de ahí el problema de definir energía globalmente y su conservación.

[petruxx]

Re: Conservación de la energía

No he pensado mucho en la respuesta.

...En todo punto se han de cumplir las leyes de la relatividad especial...
...(Por tanto, localmente siempre podemos definir energías y su conservación.)....

Si se ha de cumplir la relatividad especial entonces puede diferenciarse el tiempo del espacio. ¿no?

.... en ella, todas las transformaciones están permitidas, por lo tanto, no podemos diferenciar tiempo de espacio, y eso se ve en el Hamiltoniano, que es indénticamente nulo para relatividad general. Y de ahí el problema de definir energía globalmente y su conservación

Pero parece que en realidad no se puede diferenciar el tiempo del espacio (a menos que se verifique que asintoticamente el "espacio" tienda a ser plano. Esto crei entender de otro analisis tuyo).

Tambien para hacer un comentario sobre la "ecuacion de continuidad" estuve repasando a "Noether" y parece...(me dio esa impresion) que la deducion del teorema implica la existencia de una " integral" que automaticamente lleva a una ley de conservacion global. Dicho de otra manera en el teorema de "Noether" no hay una distincion entre "local y global" esta distincion solo es aparente. (Pero aqui me estoy metiendo en cosas que realmente estan fuera de mi alcance)

Gracias de todas formas por la respuesta, a todos.

[Entro]

Re: Conservación de la energía

No he pensado mucho en la respuesta.

Si se ha de cumplir la relatividad especial entonces puede diferenciarse el tiempo del espacio. ¿no?

Claro, pero solo localmente, poque solo localmente aplica eso de que la física se ha de describir con relatividad especial. Y localmente quiere decir estrictamente "puntualmente".

Pero parece que en realidad no se puede diferenciar el tiempo del espacio (a menos que se verifique que asintoticamente el "espacio" tienda a ser plano. Esto crei entender de otro analisis tuyo).

Tambien para hacer un comentario sobre la "ecuacion de continuidad" estuve repasando a "Noether" y parece...(me dio esa impresion) que la deducion del teorema implica la existencia de una " integral" que automaticamente lleva a una ley de conservacion global. Dicho de otra manera en el teorema de "Noether" no hay una distincion entre "local y global" esta distincion solo es aparente. (Pero aqui me estoy metiendo en cosas que realmente estan fuera de mi alcance)

Si, en el teorema Noether la pieza esencial es que hacemos una transformación infinitesimal de algún tipo, en todo el espacio. Y por ello integramos luego para obtener la cantidad conservada.

El teorema Noether nos explica que la energía está dada por la invariancia bajo reparametrizaciones temporales. Pero en Relatividad General tal transformación ya está contenida en los difeomorfismos permitidos sobre el espaciotiempo. Ya que podemos tener transformaciones infinitesimales que redefinan una única coordenada. Esto implica que en Relatividad General el generador asociado a las transformaciones temporales, el Hamiltoniano, sea idénticamente nulo en las soluciones de las ecuaciones de campo, con lo cual la dinámica es algo muy sutil y no se puede definir una "energía" de manera natural y general.

Otra manera de verlo es la siguiente, relatividad general se basa en que el espaciotiempo es un espacio de 4 dimensiones, este espacio siempre puede ser fileteado (tomar una foliación) de manera que podamos describirlo como un conjunto de espacios de 3-dimensiones (espaciales) que evolucionan en la cuarta,(temporal) lo que se llama formulación 3+1 o formulación ADM.

http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism



Esto puede dar la impresión de que si que es posible de hablar de espacio y tiempo por separado. Pero un estudio detallado de esto nos indica que esta descomposición no es única y que de hecho es arbitraria y que cualquier otra tiene el mismo sentido, lo que nos indica que la división en 3+1 no tiene ningún sentido especial.